A PRACTICAR PAR EL EXAMEN QUE TENDREMOS PRÓXIMAMENTE
lunes, 23 de marzo de 2020
jueves, 26 de marzo de 2015
NÚMEROS ENTEROS
EXPRESIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
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Para diferenciar los enteros positivos de los enteros negativos utilizamos los siguientes símbolos: + (para los positivos) y − (para los negativos).
Para escribir un número entero positivo se coloca + delante de la cantidad expresada.
| + 200 | Se lee: "más doscientos". |
Para escribir un número entero negativo se coloca − delante de la cantidad expresada.
| −100 | Se lee: "menos cien". |
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Los números +18 y −18 son distintos: el primero es positivo y el segundo negativo.
Pero +18 y −18 tienen el mismo valor absoluto: 18
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El valor absoluto se representa mediante dos barras que encierran al número:
| | +200 | = 200 | Se lee: "El valor absoluto de +200 es 200". |
| | −200 | = 200 | Se lee: "El valor absoluto de −200 es 200". |
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Comparar dos números es decir cuál es mayor, cuál es menor o si son iguales. ¿En qué caso la temperatura es menor?
| Una comparación se escribe con los símbolos > mayor que < menor que = igual que |
Se lee: "−9 es menor que −2". |
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| Propiedad conmutativa de la suma a + b = b + a | El orden de los sumandos no altera el resultado: (+3) + (−4) = (−4) + (+3) |
| Propiedad asociativa de la suma (a + b) + c = a + (b + c) | La suma de tres enteros no varía cuando se asocian los sumandos de modos distintos. [(−2) + (−7)] + (+4) = (−2) + [(−7) + (+4)] |
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| (+8) · (−7) = −56 |
| (−9) · (−12) = +108 |
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| (−30) : (+5) = −6 |
| (−90) : (−10) = +9 |
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| Propiedad conmutativa de la multiplicación a · b = b · a | El orden de los factores no altera el resultado: (−8) · (+7) = (+7) · (−8) = −56 |
| Propiedad asociativa de la multiplicación (a · b) · c = a · (b · c) | El producto de tres enteros no varía cuando se asocian los factores de modos distintos |
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sábado, 14 de marzo de 2015
lunes, 2 de marzo de 2015
DIFERENCIA DE CUADRADOS
EJEMPLO 1: (Fácil)
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
EJEMPLO 2: (Con dos letras)
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
Las dos bases son letras
EJEMPLO 3: (Con el "1")
b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
b 1
No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.
2/5 x3a 0,1 b2y5
Fracciones, decimales, potencias distintas de dos, varias letras...
PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)
EJEMPLO 10: (Con números que no son cuadrados)
x2 - 3 = (x +
).(x - )
x
El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.
¿Por qué se llama "Diferencia de Cuadrados"?
"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
(¿qué es un cuadrado?)
¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?
1) El polinomio tiene que tener 2 términos.
2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.
3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?). Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".
¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?
Recordemos que son cuadrados:
1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta (¿"raíz exacta"?). Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales (¿que quiere decir esto?). Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc.
2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x2, x4, x6, x8, x10, etc.
3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.
4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a2b2, x4y2, a6y8, a10b4c2, x8y12, etc.
5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x2, 100a4b6, 25x8y2, 64a6x12y2, etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x4, 9/25 y2b8, etc. O también un número decimal, que cumpla con lo dice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x2; 0,0009 x6y2, etc.
Más información sobre cuadrados en ¿qué es un cuadrado?
¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?
Identifico las bases (¿qué son las bases?), y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:
a2 - b2 = (a + b).(a - b)
Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior (¿cómo reconozco un cuadrado?). Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.
Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)
¿Por qué se factoriza de esa manera?
Como en toda factorización, buscamos transformar el polinomio en una multiplicación. Y resulta que una resta de dos cuadrados, proviene siempre de una multiplicación entre una suma y una resta de sus bases. Entonces, aprovechamos esa propiedad, para escribir nuestra resta de dos cuadrados, como una multiplicación.
(a + b).(a - b) siempre dá una resta del cuadrado de a y el cuadrado de b. Cualesquiera sean a y b. Y por eso existe la siguiente fórmula:
(a + b).(a - b) = a2 - b2
Eso quiere decir que, siempre que multiplique la suma de dos términos cualesquiera, por la resta de ESOS MISMOS TÉRMINOS, el resultado es: "El cuadrado de uno de los términos, menos el cuadrado del otro término". En esta fórmula es en la que este Quinto Caso se basa.
Si (a + b).(a - b) = a2 - b2, podemos decir también que a2 - b2 es igual a (a + b).(a - b), que es lo mismo pero visto al revés (recíproco). Cuando decidimos factorizar un polinomio con este Caso, buscamos dos términos que sean cuadrados, es decir, buscamos a a2 y b2. Luego, podemos decir entonces que nuestro polinomio es igual a la suma de a y b, multiplicada por la resta de a y b.
¿Por qué (a + b).(a - b) es igual a a2 - b2?
(a + b).(a - b) es igual a a2 - ab + ba - b2, si aplicamos la Propiedad Distributiva.
Pero los términos ab y ba son iguales, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden (Propiedad Conmutativa). (Recordemos que ab es lo mismo que "a por b", es una multiplicación).
Si esos términos son iguales, y tienen el signo opuesto (uno el "más"; el otro, el "menos"), se pueden cancelar ("tachar"). Porque si resto un valor y luego vuelvo a sumar el mismo valor, es como si no hiciera nada: vuelvo a lo mismo. Estoy restando ab, y luego sumando ab, es lo mismo que no hacer nada. Por eso puedo cancelar a -ab con + ab. Cancelar significa tacharlos, borrarlos, quitarlos de la expresión. -ab y +ba son dos términos "opuestos"
(¿qué es el opuesto?), y la suma de dos términos opuestos dá cero (Ley de los opuestos). Si dá cero, es lo mismo que no estuvieran, ya que sumar "cero" no agrega nada (El cero es el neutro de la suma).
a2- ab + ba - b2
Luego de cancelar, me queda a2 - b2. Usando operaciones y propiedades válidas, llegué a la conclusión de que (a + b).(a - b) es igual a a2 - b2
Con un ejemplo donde haya números, quizás se pueda apreciar mejor el tema de los dos términos opuestos que se cancelan:
(x + 4).(x - 4) = x2 - 4x + 4x - 16 = x2 + 0 - 16 = x2 - 16
(- 4x + 4x es igual a 0, como sabrán seguramente si han resuelto ecuaciones, han hecho operaciones con polinomios, etc.)
¿Por qué a la resta se le dice "diferencia"?
Si dos números representan a distintas cantidades, son números diferentes. Entre ellos hay una diferencia. Hay una diferencia entre sus cantidades. Para saber qué diferencia hay entre las cantidades que representan, hay que restarlos. La resta entre ellos es la diferencia entre las cantidades que ellos representan. Por ejemplo:
3 y 8 son dos números diferentes
El 3 es más chico que el 8. ¿Qué diferencia de cantidad hay entre 3 y 8? ¿Que diferencia hay entre tener 3 cosas o tener 8 cosas? Bueno, si tengo 8 cosas, estoy teniendo 5 cosas más que si tengo 3. ¿Y cómo pude calcular eso? Restando 8 - 3 = 5. Si a 8 le resto 3, puedo ver qué diferencia de cantidad hay entre ellos. Si resto dos números, puedo saber la diferencia entre las cantidades que representan. Por eso ha de ser que a la resta en Matemática se le llama también "diferencia".
¿A qué llamo raíz "exacta"?
Digo que un número entero tiene raíz cuadrada exacta, si al calcular la raíz cuadrada de ese número, el resultado es un número natural. Es decir, si en la calculadora saco la raíz cuadrada del número, el resultado dá "sin coma". Por ejemplo:
Digo que el número 9 tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo
, dá como resultado 3, un número natural, es decir: "sin coma". En realidad es porque existe un número natural que elevado al cuadrado es igual a 9, y ese número es 3. Pero, la costumbre de la mayoría es tomar la calculadora y poner: . Por eso lo explico de esa manera.
En cambio el número 8 no tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo
, dá como resultado 2,828427125. Este número decimal me llena la pantalla de la calculadora, y es porque en realidad sigue hasta el infinito con sus cifras decimales. Este tipo de números pertenece a un conjunto que se llama Números Irracionales. Digo que una raíz no es exacta cuando el resultado es un número irracional.
En cuanto a los números decimales, pueden también tener lo que yo llamo "raíz exacta". En ese caso, el resultado dá con coma. Si embargo, ese resultado no llena la calculadora. No tiene tantos decimales. Y es porque no es un número irracional, sino que es un "decimal exacto", es decir: un decimal "que se termina". Entonces, cuando hablo de números decimales con "raíz exacta", me refiero a aquellos números que, cuando le calculo la raíz cuadrada, el resultado "no me llena la calculadora" con cifras decimales. El resultado es un número con coma, pero es un decimal exacto, "se corta". Por ejemplo:
Digo que el número 0,0025 tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,05. El cual es un número decimal exacto, porque tiene sólo dos cifras después de la coma.
En cambio, el número 0,3 no tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,547722557... Un número irracional.
Todo lo anterior es para que nos entendamos. En realidad, diríamos que un número tiene raíz cuadrada exacta si existe un número racional que elevado al cuadrado dé ese número.
x2 - 9 = (x + 3).(x - 3)
x 3
Los dos términos son cuadrados. Las "bases" son x y 3. Se factoriza multiplicando la "suma de las bases" por la "resta de las bases".
EJEMPLO 2: (Con dos letras)
x2 - y2 = (x + y).(x - y)
x y
Las dos bases son letras
EJEMPLO 3: (Con el "1")
b2 - 1 = (b + 1).(b - 1)
b 1
No hay que olvidar que el número 1 es un cuadrado.
EJEMPLO 4: (Con fracciones)
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x 3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)
EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 7: (Con números decimales)
x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)
x 0,4
También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)
EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")
-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)
x 2
El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.
EJEMPLO 9: (Uno "con todo")
x2 - 9/25 = (x + 3/5).(x - 3/5)
x 3/5
9/25 es cuadrado. Porque 9 es cuadrado (de 3), y 25 también (de 5)
EJEMPLO 5: (Con potencias distintas de 2)
x6 - 4 = (x3 + 2).(x3 - 2)
x3 2
x6 es también un cuadrado, es el cuadrado de x3. Ya que (x3)2 es igual a x6
EJEMPLO 6: (Con términos "compuestos")
36x2 - a6b4 = (6x + a3b2).(6x - a3b2)
6x a3b2
Los términos pueden estar compuestos por varios factores, y no una sola letra o número. Pero todos deben ser cuadrados.
EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6
EJEMPLO 7: (Con números decimales)
x2 - 0,16 = (x + 0,4).(x - 0,4)
x 0,4
También se puede hacer pasando los números decimales a fracción (Ver en la EXPLICACIÓN)
EJEMPLO 8: (Con la resta "al revés")
-x2 + 4 = 4 - x2 = (2 + x).(2 - x)
x 2
El primer término es negativo y el segundo es positivo. Pero puedo escribirlos "al revés", y ahí tengo la resta que necesito.
EJEMPLO 9: (Uno "con todo")
4/25 x6a2 - 0,01 b4y10 = (2/5 x3a + 0,1 b2y5).(2/5 x3a - 0,1 b2y5)
2/5 x3a 0,1 b2y5
Fracciones, decimales, potencias distintas de dos, varias letras...
PARA AVANZADOS: (Raramente se ve en Nivel Medio)
EJEMPLO 10: (Con números que no son cuadrados)
x2 - 3 = (x +
).(x - )x
El número 3 no es cuadrado de un número entero ni racional.
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE EL CASO: DIFERENCIA DE CUADRADOS
"Diferencia" se le dice a la resta (¿por qué?). Entonces, "Diferencia de Cuadrados" hace referencia a una "Resta de cuadrados". Más precisamente, una resta de dos cuadrados. Es decir, "dos cuadrados que están restándose".
Por ejemplo, en x2 - 4, tenemos al cuadrado x2 que está restando con el cuadrado 4. Es un polinomio de dos términos que se están restando, y ambos son "cuadrados".
(¿qué es un cuadrado?)
¿Cómo me doy cuenta de que puedo aplicar este Caso en un polinomio?
1) El polinomio tiene que tener 2 términos.
2) Los términos tienen que estar restándose. Por ejemplo: x2 - 1. Pero también pueden estar al revés, por ejemplo: -9 + a6. Ya que es lo mismo que a6 - 9. Es decir que debo ver que haya un término positivo y otro negativo, no importa el orden.
3) Los dos términos tienen que ser "cuadrados" (¿qué es un cuadrado?). Para reconocer que un término es cuadrado, aplicamos todo lo que aprendimos al respecto en el Tercer Caso: Trinomio Cuadrado Perfecto. En la próxima pregunta hago un resumen de las posibilidades a la hora de identificar un "cuadrado".
¿Cómo reconozco si un término es un "cuadrado"?
Recordemos que son cuadrados:
1) Los números enteros que tienen raíz cuadrada exacta (¿"raíz exacta"?). Por ejemplo: 4, 9, 16, 1, 25, 36, 64, 100, etc. En particular, recordar que el número 1 es un cuadrado.
Y los número decimales cuya raíz cuadrada dé un número decimal exacto. Es decir, que al calcular su raíz en la calculadora, no se llene ésta de cifras decimales (¿que quiere decir esto?). Ejemplos de decimales que son cuadrados: 0,09; 0,01; 0,0001; 0,25; 0,64; 1,44; 0,0256; etc.
2) Las letras elevadas a un exponente par. Por ejemplo: x2, x4, x6, x8, x10, etc.
3) Las fracciones cuyo numerador y denominador son ambos "cuadrados". Es decir, que el número de arriba tiene raíz exacta, y el de abajo también. Por ejemplo: 4/9 , 25/64, 1/4, 49/100, etc.
4) Términos que tengan varias letras y todas ellas sean potencias "pares" (exponente = 2, 4, 6, 8, etc). O sea, que cada letra sea "cuadrado", como en el punto 2). Por ejemplo: a2b2, x4y2, a6y8, a10b4c2, x8y12, etc.
5) Términos que tengan un número y una o más letras, siempre que el número tenga raíz exacta y las letras sean potencias pares (como en los puntos 1) y 2)). Por ejemplo: 9x2, 100a4b6, 25x8y2, 64a6x12y2, etc. El número puede ser una fracción, y debe ser cuadrado por supuesto (ver punto 3)). Por ejemplo: 1/9 x4, 9/25 y2b8, etc. O también un número decimal, que cumpla con lo dice el punto 1). Por ejemplo: 0,04 x2; 0,0009 x6y2, etc.
Más información sobre cuadrados en ¿qué es un cuadrado?
¿Cómo se factoriza una Diferencia de Cuadrados?
Identifico las bases (¿qué son las bases?), y el resultado de la factorización es: "La suma de las bases multiplicada por la resta de las bases", es decir: suma por resta de las bases. En letras:
a2 - b2 = (a + b).(a - b)
Donde a2 y b2 son los dos cuadrados, cuya forma es alguna de las indicadas en la pregunta anterior (¿cómo reconozco un cuadrado?). Y "a" y "b" son las bases de esos cuadrados.
Por ejemplo, en 25x2 - 100, los dos cuadrados son: 25x2 y 100. Las bases son 5x y 10. Entonces se factoriza como (5x + 10).(5x - 10)
¿Por qué se factoriza de esa manera?
Como en toda factorización, buscamos transformar el polinomio en una multiplicación. Y resulta que una resta de dos cuadrados, proviene siempre de una multiplicación entre una suma y una resta de sus bases. Entonces, aprovechamos esa propiedad, para escribir nuestra resta de dos cuadrados, como una multiplicación.
(a + b).(a - b) siempre dá una resta del cuadrado de a y el cuadrado de b. Cualesquiera sean a y b. Y por eso existe la siguiente fórmula:
(a + b).(a - b) = a2 - b2
Eso quiere decir que, siempre que multiplique la suma de dos términos cualesquiera, por la resta de ESOS MISMOS TÉRMINOS, el resultado es: "El cuadrado de uno de los términos, menos el cuadrado del otro término". En esta fórmula es en la que este Quinto Caso se basa.
Si (a + b).(a - b) = a2 - b2, podemos decir también que a2 - b2 es igual a (a + b).(a - b), que es lo mismo pero visto al revés (recíproco). Cuando decidimos factorizar un polinomio con este Caso, buscamos dos términos que sean cuadrados, es decir, buscamos a a2 y b2. Luego, podemos decir entonces que nuestro polinomio es igual a la suma de a y b, multiplicada por la resta de a y b.
¿Por qué (a + b).(a - b) es igual a a2 - b2?
(a + b).(a - b) es igual a a2 - ab + ba - b2, si aplicamos la Propiedad Distributiva.
Pero los términos ab y ba son iguales, porque en la multiplicación se puede cambiar el orden (Propiedad Conmutativa). (Recordemos que ab es lo mismo que "a por b", es una multiplicación).
Si esos términos son iguales, y tienen el signo opuesto (uno el "más"; el otro, el "menos"), se pueden cancelar ("tachar"). Porque si resto un valor y luego vuelvo a sumar el mismo valor, es como si no hiciera nada: vuelvo a lo mismo. Estoy restando ab, y luego sumando ab, es lo mismo que no hacer nada. Por eso puedo cancelar a -ab con + ab. Cancelar significa tacharlos, borrarlos, quitarlos de la expresión. -ab y +ba son dos términos "opuestos"
(¿qué es el opuesto?), y la suma de dos términos opuestos dá cero (Ley de los opuestos). Si dá cero, es lo mismo que no estuvieran, ya que sumar "cero" no agrega nada (El cero es el neutro de la suma).
a2
Luego de cancelar, me queda a2 - b2. Usando operaciones y propiedades válidas, llegué a la conclusión de que (a + b).(a - b) es igual a a2 - b2
Con un ejemplo donde haya números, quizás se pueda apreciar mejor el tema de los dos términos opuestos que se cancelan:
(x + 4).(x - 4) = x2 - 4x + 4x - 16 = x2 + 0 - 16 = x2 - 16
(- 4x + 4x es igual a 0, como sabrán seguramente si han resuelto ecuaciones, han hecho operaciones con polinomios, etc.)
¿Por qué a la resta se le dice "diferencia"?
Si dos números representan a distintas cantidades, son números diferentes. Entre ellos hay una diferencia. Hay una diferencia entre sus cantidades. Para saber qué diferencia hay entre las cantidades que representan, hay que restarlos. La resta entre ellos es la diferencia entre las cantidades que ellos representan. Por ejemplo:
3 y 8 son dos números diferentes
El 3 es más chico que el 8. ¿Qué diferencia de cantidad hay entre 3 y 8? ¿Que diferencia hay entre tener 3 cosas o tener 8 cosas? Bueno, si tengo 8 cosas, estoy teniendo 5 cosas más que si tengo 3. ¿Y cómo pude calcular eso? Restando 8 - 3 = 5. Si a 8 le resto 3, puedo ver qué diferencia de cantidad hay entre ellos. Si resto dos números, puedo saber la diferencia entre las cantidades que representan. Por eso ha de ser que a la resta en Matemática se le llama también "diferencia".
¿A qué llamo raíz "exacta"?
Digo que un número entero tiene raíz cuadrada exacta, si al calcular la raíz cuadrada de ese número, el resultado es un número natural. Es decir, si en la calculadora saco la raíz cuadrada del número, el resultado dá "sin coma". Por ejemplo:
Digo que el número 9 tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo
, dá como resultado 3, un número natural, es decir: "sin coma". En realidad es porque existe un número natural que elevado al cuadrado es igual a 9, y ese número es 3. Pero, la costumbre de la mayoría es tomar la calculadora y poner: . Por eso lo explico de esa manera.En cambio el número 8 no tiene raíz cuadrada exacta, porque si calculo
, dá como resultado 2,828427125. Este número decimal me llena la pantalla de la calculadora, y es porque en realidad sigue hasta el infinito con sus cifras decimales. Este tipo de números pertenece a un conjunto que se llama Números Irracionales. Digo que una raíz no es exacta cuando el resultado es un número irracional.En cuanto a los números decimales, pueden también tener lo que yo llamo "raíz exacta". En ese caso, el resultado dá con coma. Si embargo, ese resultado no llena la calculadora. No tiene tantos decimales. Y es porque no es un número irracional, sino que es un "decimal exacto", es decir: un decimal "que se termina". Entonces, cuando hablo de números decimales con "raíz exacta", me refiero a aquellos números que, cuando le calculo la raíz cuadrada, el resultado "no me llena la calculadora" con cifras decimales. El resultado es un número con coma, pero es un decimal exacto, "se corta". Por ejemplo:
Digo que el número 0,0025 tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,05. El cual es un número decimal exacto, porque tiene sólo dos cifras después de la coma.
En cambio, el número 0,3 no tiene raíz exacta. Porque al calcular su raíz cuadrada en la calculadora, dá 0,547722557... Un número irracional.
Todo lo anterior es para que nos entendamos. En realidad, diríamos que un número tiene raíz cuadrada exacta si existe un número racional que elevado al cuadrado dé ese número.
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
EJEMPLO 1: (Términos positivos)
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
EJEMPLO 2: (Con el "1")
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
x 1
2.1.x
2x
Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)2
EJEMPLO 3: (Con fracciones)
x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2
x 4/3
2. 4/3 . x
8/3 x
La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.
EJEMPLO 12: (Con números que no tienen raíz cuadrada "exacta")
¿Por qué se llama así el caso?
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
¿Por qué se factoriza de esa manera?
Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula (¿qué es un "binomio"?):
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". (¿doble producto?)
Por ejemplo:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x2 + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)2.
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:
a2 + 2.a.b + b2
¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a2 y b2. Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.
(¿qué son las "bases"?) (¿qué es "doble producto"?)
Por ejemplo, en:
x2 + 10x + 25
Los términos "cuadrados" son x2 y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)2.
De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)2 es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (¿qué significa "factorizar"?)
¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?
Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original.
En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:
1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2) al resultado que nos dió:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):
(x + 5).(x + 5) = x2 + 5x + 5x + 25 = x2 + 10x + 25
¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?
Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:
- El polinomio tiene que tener 3 términos.
- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son números, tienen que ser números que tengan raíz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x2, a4, x6, etc.)
- Los términos que están al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x2 - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x2 no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado dá positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)2 me va a dar un trinomio con algún cuadrado negativo (ya que a2 y b2van a dar positivos). El único término que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).
¿Cuándo desisto de usar el Caso?
Cuando luego de identificar a las bases, pruebo el "doble producto", y no dá ni igual ni el opuesto del término que no es cuadrado en el trinomio. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado.
Aclaremos que es cada cosa, con un ejemplo:
a2 + 14a + 49 =
a 7
2.a.7
En este ejemplo, los "cuadrados" son a2 y 49. Las bases son "a" y "7". El doble producto es 2.a.7 ("multiplicar por 2 a la multiplicación entre las bases"). Y "el término que no es cuadrado en el trinomio" es 14a. Desisto de usar el caso si 2.a.7 no diera 14a, ni -14a. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2)
¿Qué son las "bases"?
En una potencia (como x2, 25, etc.), se le llama "base" al número o letra que está elevado, es decir "el número o letra que está debajo del otro". Por ejemplo:
En x2 la base es la "x". La "x" está "debajo" del "2". La "x" está elevada a la "2".
En 25, la base es el "2". El "2" está "debajo" del "5". El "2" está elevado a la "5".
¿Por qué se habla de "doble producto"?
"Producto" se le llama a la multiplicación. "Doble" es "multiplicado por dos". "Doble producto" es "una multiplicación, multiplicada por dos". En este tema, al calcular el Cuadrado de un Binomio, aparece un "doble producto":
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
El "doble producto" del que me hablan es "2.a.b". Es decir: "el doble de la multiplicación de a con b", que son las "bases", o "el primero" (la "a") y "el segundo" (la "b") en el binomio.
Los que "no son cuadrado" seguro:
En los siguientes ejemplos se puede ver cómo reconocer términos que no pueden ser uno de los cuadrados que buscamos:
-4x Este término es negativo. Nunca el cuadrado de algo dá negativo. Cualquier cosa elevada a la potencia 2, dá positiva. Cuando aplico la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 , nunca el resultado de a2 o b2 me va a dar negativo. Entonces, queda claro que -4x podría ser "el término del medio" (2.a.b), y no puede ser uno de los "cuadrados" que tengo que encontrar.
4x Éste no es negativo, y el 4 es "cuadrado" (22 = 4). Podríamos confundirnos... Pero está esa "x". La "x" no es "cuadrado". Para que una letra sea "cuadrado", tiene que estar elevada a la potencia 2 (x2), a la potencia 4 (x4), a la potencia 6 (x6), o a cualquier otro número "par" (¿por qué?).
3x2 Éste tiene la x al cuadrado... Pero el 3 ¿es cuadrado de algún número? No, ningún número (entero o racional), elevado a la potencia 2, dá 3. (¿"entero o racional"?). Es lo mismo que decir "el 3 no tiene raíz cuadrada exacta". Si en la calculadora sacamos la raíz cuadrada de 3, veremos que dá un número con coma: 1,73205.... Ese número no nos sirve para usarlo como base en este tema de factoreo, tienen que usarse número enteros, fracciones o decimales exactos.
9x2b Ojo con éste. 9 es cuadrado. x2 también. Pero la b no es cuadrado de nada, por no ser potencia par. Este término entonces no puede ser uno de los cuadrados.
¿Podría ser que los tres términos sean "cuadrado" de algo?
Y... sí. Pero en ese caso, elegimos 2 de ellos, sacamos las bases, y verificamos el doble producto. Si no dá, probamos con otros dos y hacemos lo mismo. En cuanto el doble producto nos dé bien, es porque elegimos los cuadrados correctos. Por ejemplo:
x4 + 16x2y4 + 64y8 =
Los 3 pueden ser "cuadrados":
x4 es cuadrado de x2
16x2y4 es cuadrado de 4xy2
64y8 es cuadrado de 8y4
Pero en la mayoría de los ejercicios, esto no va a pasar. Y en este ejemplo, también nos podríamos dar cuenta que 16x2y4 tiene las dos letras (x e y), y los otros términos no. Eso nos sugiere que 16x2y4 es el "doble producto", porque las dos letras de los otros términos están multiplicándose.
Aunque también hay otros ejemplos donde ni por eso nos podríamos dar cuenta:
a4x4 + a8x4 + 4a6x6 =
Pero, en general, este tipo de ejercicios nos lo pueden dar cuando ya vimos todos los Casos de Factoreo. Se trata de un ejercicio combinado, donde se pueden ir aplicando varios Casos. Y en este ejemplo en particular, se aplicaría primero el Caso "Factor Común", y luego el "Trinomio Cuadrado Perfecto".
¿A qué le llamamos un "cuadrado"?
Se le llama cuadrado a la potencia "2". Si algo está elevado a la 2, se dice que está elevado "al cuadrado". Por ejemplo, x2 es "x al cuadrado".
También en este tema le llamamos "cuadrados" a los números, letras o términos que estén elevados a la 2, o que sean resultado de elevar a la 2 a algo. Decimos directamente que "x2 es un cuadrado", "25 es un cuadrado", etc. Por ejemplo:
25 es un cuadrado, porque es resultado de 52 (o sea, resultado de elevar algo a la 2)
9 es un cuadrado, porque es resultado de 32
1 es un cuadrado, porque es resultado de 12
a2 es un cuadrado, porque es resultado de elevar a la "a" a la potencia 2
x6 es un cuadrado, porque viene de elevar a x3 a la potencia 2, ya que (x3)2 = x6
(potencia de potencia)
b4 es un cuadrado, porque viene de elevar a b2 a la potencia 2, ya que (b2)2 = b4
(potencia de potencia)
Para este tema, conviene recordar cuáles los son primeros números naturales que son cuadrados, para poderlos reconocer rápidamente:
1 es cuadrado de 1
4 es cuadrado de 2
9 es cuadrado de 3
16 es cuadrado de 4
25 es cuadrado de 5
36 es cuadrado de 6
49 es cuadrado de 7
64 es cuadrado de 8
81 es cuadrado de 9
100 es cuadrado de 10
121 es cuadrado de 11
144 es cuadrado de 12
169 es cuadrado de 13
196 es cuadrado de 14
225 es cuadrado de 15
256 es cuadrado de 16
En cuanto a las letras, tienen que ser "potencias pares" para ser cuadrados (¿por qué?). Entonces, son cuadrados:
x2 es cuadrado de x
x4 es cuadrado de x2 (¿por qué?)
x6 es cuadrado de x3
x8 es cuadrado de x4
x10 es cuadrado de x5
etc.
¿Qué es el exponente?
Con un ejemplo se entiende mejor que definiendo:
En 25, el exponente es el 5. Es decir que se le llama "exponente" a "ese númerito que está arriba" en las potencias, mientras que al número de abajo se lo llama "base". En una potencia, el exponente es quien indica cuántas veces hay que multiplicar por sí misma a la base. Es decir que 25 significa 2.2.2.2.2
Potencia de Potencia
Decíamos por ejemplo, que " x6 es cuadrado de x3 ", y que era porque (x3)2 es igual a x6. Esto es porque (x3)2 se puede resolver usando una propiedad a la que le dicen "potencia de potencia", ya que se trata de calcular la potencia de algo que ya tiene exponente
(¿qué es "exponente"?). Esta propiedad dice que hay que "multiplicar los exponentes":
(x3)2 = x6, porque multipliqué "3 por 2", que dá 6
(x7)2 = x14, porque multipliqué "7 por 2", que dá 14
En general, la propiedad dice que:
(an)m = an.m
Veamos con algunos ejemplos cómo esta propiedad se cumple, usando el concepto de lo que es "elevar a una cierta potencia":
(x3)2 es igual a " x3 por x3 ", si usamos el concepto de potencia, ya que elevar a la 2 significa "multiplicar por sí mismo dos veces" (¿qué es una potencia?). O sea que:
(x3)2 = x3.x3 = x3 +3 = x6 (Sumo los exponentes por la propiedad de las potencias de igual base)
(x5)3 = x5.x5.x5 = x5 + 5 + 5 = x15 (y 3 por 5 es 15)
(x2)4 = x2.x2.x2.x2 = x2 + 2 + 2 + 2 = x8 (y 2 por 4 es 8)
Y si quieren entender aún más por qué, recuerden que "sumar varias veces lo mismo" es "multiplicar por el número de veces". Entonces, en (x5)3 = x5.x5.x5 , sumar 5 + 5 + 5 es lo mismo que multiplicar 5 por 3. Por esa razón, la propiedad dice que "se deben multiplicar los exponentes". En (x2)4 = x2.x2.x2.x2 tendríamos que sumar 4 veces al 2, así: 2 + 2 + 2 + 2. Y eso es lo mismo que multiplicar 2 por 4.
¿Qué es un "binomio"?
Se le llama "binomio" a un polinomio de 2 términos. Por ejemplo:
x + 4
x3 + x
a + b2
5 - a
etc.
Y un "binomio al cuadrado" es entonces "un polinomio de dos términos, elevado a la potencia 2". Por ejemplo:
(x + 5)2
(x2 + 3)2
(1 - a)2
etc.
Y se puede resolver de varias maneras:
1) Aplicando la fórmula: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, donde "a" es el primer término y "b" el segundo término (ejemplos de aplicación de esta fórmula). A la aplicación de esta fórmulas se le llama "Cuadrado de un binomio".
2) Multiplicando por sí mismo al binomio, basándonos en el concepto de potencia, es decir, en lo que significa elevar algo a la potencia 2: "multiplicar a algo dos veces por sí mismo". Ejemplo:
(x + 3)2 lo puedo resolver multiplicando (x + 3) por (x + 3)
Ejemplos de aplicación de la fórmula del "Cuadrado de un binomio":
Recordemos que la fórmula es: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Donde "a" es el primer término y "b" el segundo.
- Con dos términos positivos:
(x + 7)2 = x2 + 2.x.7 + 72 = x2 + 14x + 49
- Con términos negativos:
(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El "segundo" es (-3)
(-x + 5)2 = (-x)2 + 2.(-x).5 + 52 = x2 - 10x + 25 El "primero" es (-x)
(-x - 1)2 = (-x)2 + 2.(-x).(-1) + (-1)2 = x2 + 2x + 1 El "primero" es (-x) y el "segundo" (-1)
- Con términos elevados:
(x5 + 2)2 = (x5)2 + 2.x5.2 + 22 = x10 + 4x5 + 4
(x - y2)2 = x2 + 2.x.(-y2) + (-y)2 = x2 - 2.x.y2 + y2
¿No existe una fórmula específica para cuando se trata de una resta al cuadrado?
Sí. De la conocida fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, se puede deducir una fórmula para resolver (a - b)2. La fórmula es:
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
Esta fórmula sirve solamente para "restas al cuadrado", lo que antes interpretábamos como: "el primer término es positivo y el segundo término es negativo".
Veamos cómo se aplicaría:
(x - 3)2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9 El primero es x, y el segundo es 3
Cuando reemplazamos en esta fórmula, ya no tenemos que pensar al segundo término (b) como "-3", sino como 3. Porque el "menos" lo tomamos como que es el signo de la operación resta. Son dos maneras distintas de pensar lo mismo.
Esta fórmula es práctica para hacer "directamente" lo que antes hacíamos reemplazando con (-3). Porque nos ahorramos el reemplazar con términos negativos. Para comparar, veamos como lo hacíamos con la otra fórmula:
(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El "segundo" es (-3)
Se puede ver que reemplazar con un número negativo "retrasa" la visión de lo que va a ser el resultado final. En cambio con la nueva fórmula, ya sabemos de antemano que el "doble producto" va a dar negativo, en cambio el tercer término va a dar positivo por ser un cuadrado.
De todas maneras, hay que tener en cuenta que esta fórmula no sirve para aplicarla en polinomios como (-x + 4), o (-x - 3), donde ya no se puede ver al binomio como un "resta" de términos sin signo.
Es completamente decisión nuestra aprender las dos fórmulas (que no es difícil, porque son muy parecidas), o hacer todo con la fórmula de la suma.
Por último, veamos las dos fórmulas juntas para compararlas:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
¿Y no podría deducir una fórmula específica también para (-a + b)2 y para (-a - b)2?
Por supuesto que se puede, pero ¿quién quiere aprenderse 4 fórmulas, cuando puede hacerse todo con una sola?
Y además... darían las mismas dos fórmulas que ya conocemos... Pero habría que acordarse para cuál caso va cada una, lo cual no creo que sea práctico.
Anotemos de todos modos las 4 posibilidades. No porque las vayamos a usar para resolver cuadrados de binomios, sino para ver el fundamento de lo que plantea la siguiente pregunta. Estas son las 4 fórmulas posibles:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a + b)2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a - b)2 = a2 + 2.a.b + b2 (¿Cómo se deducen todas estas fórmulas?)
Y esto me lleva a a:
¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno sólo?
Efectivamente. Si miramos las 4 fórmulas de arriba, veremos que los resultados son en realidad solamente dos:
a2 + 2.a.b + b2 ; que viene de (a + b)2, pero también de (-a - b)2
a2 - 2.a.b + b2 ; que viene de (a - b)2, pero también de (-a + b)2
Entonces, si tengo un trinomio, viene de dos posibles cuadrados de binomios. Eso quiere decir, que si factorizo un trinomio, tiene dos resultados posibles. Ejemplos:
1) En general hacemos así:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 2.x.3 3
6x
Pero también lo podríamos haber pensado así:
x2 + 6x + 9 = (-x - 3)2
-x 2.(-x).(-3) -3
6x
Ya que elegiendo como bases a -x y a -3, también se verifica el doble producto (2.a.b)
Es decir que x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x - 3)2. Ya que si resuelvo tanto uno como otro cuadrado de binomio, el resultado es el trinomio que quería factorizar. En definitiva, tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso (Trinomio cuadrado perfecto)
2) En general hacemos así:
x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
x 2.x.(-3) (-3)
-6x
Pero también lo podríamos haber pensado así:
x2 - 6x + 9 = (-x + 3)2
(-x) 2.(-x).3 3
-6x
Ya que elegiendo como bases a -x y a 3, también se verifica el doble producto (2.a.b). Es decir que x2 - 6x + 9 tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso. (otra explicación)
¿Cómo se deducen esas fórmulas de "Cuadrado de un binomio"?
Podemos aplicar el concepto de potencia y aplicar la distributiva.
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a + b)2 = (-a + b).(-a + b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a - b)2 = (-a - b).(-a - b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2
O también, aplicando la primera fórmula a los otros binomios, podemos deducir las otras tres. Pero no es objetivo de esta página presentar este tipo de demostraciones que van más allá de lo que suele ver en el Nivel Medio.
¿Por qué cuando digo que "3 no es cuadrado de ningún número", aclaro: "entero o racional"?
Porque me refiero sólo a número enteros o número racionales, que son los que usamos en este tema. Ya que 3 sí puede ser cuadrado, pero lo es de un número irracional: , porque
()2 es igual a 3. (¿qué es un número entero?)
¿Qué es un número racional?
Como definición se suele decir que es todo número que puede escribirse como una fracción (con numerador y denominador "entero"). En el conjunto de los Racionales estarían incluidos entonces:
- Todos los números naturales y los enteros. Porque "poniéndoles un 1 abajo" (como denominador), los podemos escribir como fracción (3 = 3/1 ; -2 = -2/1 ; 0 = 0/1 ; etc.)
- Los decimales exactos y los decimales periódicos, porque se pueden "pasar a fracción" siguiendo ciertas reglas. (0,07 = 7/100 ; 0,44444... = 4/9 ; etc.)
- Y las fracciones, por supuesto (2/3 ; 5/2 ; etc.)
En cambio no son números racionales:
- Los decimales con infinitas cifras decimales no periódicas (no hay algo que se repite). Lo que incluye a las raíces que no dan resultado exacto:
= 1,7325... ; 
= 2,2360679... ; y otros números conocidos, como PI = 3,1415926... y e= 2,71828... A todos estos se los llama números irracionales.
- Los números complejos: 2 + 3i ; -5i ; etc.
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 3
2.3.x
6x
Busco dos términos que sean "cuadrado" de algo. Son: x2 y 9. Entonces "bajo" la x y el 3 (las bases). Luego verifico 2.x.3 = 6x ("doble producto del primero por el segundo"). Dió igual que el otro término. El polinomio es un cuadrado "perfecto". El resultado de la factorización es la suma de las bases elevada al cuadrado: (x + 3)2
EJEMPLO 2: (Con el "1")
x2 + 2x + 1 = (x + 1)2
x 1
2.1.x
2x
Recordemos que el "1" es cuadrado (de "1" y "-1"). Las bases son: x y 1.
La verificación de que es "perfecto" es 2.x.1 = 2x.
El resultado es (x + 1)2
EJEMPLO 3: (Con fracciones)
x2 + 8/3 x + 16/9 = (x + 4/3)2
x 4/3
2. 4/3 . x
8/3 x
La fracción 16/9 es cuadrado de 4/3. Las bases son x y 4/3.
EJEMPLO 4: (Con un término negativo)
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x (-5)
2.(-5).x
-10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.
EJEMPLO 5: (Desordenado)
x + x2 + 1/4 = (x + 1/2)2
x 1/2
2.x.1/2
x
No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.
EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2
x3 5
2.x3.5
10x3
Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).
EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)
4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2
2x a3
2.2x.a3
4xa3
En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.
EJEMPLO 9: (Con números decimales)
0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2
0,3a3 (-1)
2.0,3a3.1
0,6a3
A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.
EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)
25x6 + 10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2
5x3 x2
2.5x3.x2
10x5
En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.
EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 = (1/2 b3 - x2a)2
1/2 b3 -x2a
2. 1/2 b3.(-x2a)
-x2ab3
Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.
AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)
x2 - 10x + 25 = (x - 5)2
x (-5)
2.(-5).x
-10x
Tomo como bases a "x" y "(-5)", ya que (-5)2 también es 25. Y con (-5), la verificación del doble producto dá bien. El resultado es la suma de las bases, al cuadrado. O sea (x + (-5))2 , que es igual a (x - 5)2.
EJEMPLO 5: (Desordenado)
x + x2 + 1/4 = (x + 1/2)2
x 1/2
2.x.1/2
x
No siempre están los dos cuadrados en los extremos. Las bases son "x" y "1/2", y el doble producto está en el primer término.
EJEMPLO 6: (Con un número multiplicando a la x2)
9x2 + 30x + 25 = (3x + 5)2
3x 5
2.5.3x
30x
Las bases son 3x y 5, ya que (3x)2 dá 9x2. En este caso hay un número acompañando a la letra que está al cuadrado. Para que el término sea uno de los cuadrados que buscamos, ese número también tiene que ser un cuadrado (4, 9, 16, 25, etc.).
EJEMPLO 7: (Con potencias diferentes a "2")
x6 + 10x3 + 25 = (x3 + 5)2
x3 5
2.x3.5
10x3
Bajo x3, ya que x6 es igual a (x3)2; es decir que es un "cuadrado", el cuadrado de x3. Las otras potencias pares (4, 6, 8, etc.) también son "cuadrados", ya que x4, por ejemplo, es igual a (x2)2; x6 es igual a (x3)2, por una propiedad de las potencias (potencia de potencia).
EJEMPLO 8: (Con varias letras diferentes)
4x2 + 4xa3 + a6 = (2x + a3)2
2x a3
2.2x.a3
4xa3
En los dos términos que son "cuadrados" puede haber letras. Las dos deben ser "cuadrados", por supuesto. El término del medio también tendrá las 2 letras.
EJEMPLO 9: (Con números decimales)
0,09a6 + 1 - 0,6a3 = (0,3a3 - 1)2
0,3a3 (-1)
2.0,3a3.1
0,6a3
A los números decimales puedo pasarlos a fracción. O sino, sacarle la raíz cuadrada para saber de qué número son cuadrado. 0,09 es cuadrado de 0,3.
EJEMPLO 10: (La misma letra en los dos cuadrados)
25x6 + 10 x5 + x4 = (5x3 + x2)2
5x3 x2
2.5x3.x2
10x5
En un caso como éste, queda una multiplicación de potencias de igual base (x3.x2), y por lo tanto, hay que sumar los exponentes.
EJEMPLO 11: (Uno que tenga "todo")
1/4 b6 + x4a2 - x2ab3 = (1/2 b3 - x2a)2
1/2 b3 -x2a
2. 1/2 b3.(-x2a)
-x2ab3
Desordenado, con varias letras, con término negativo, con fracciones, con potencias distintas de dos... Un ejemplo con casi todas las complicaciones que puede haber.
AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)
EJEMPLO 12: (Con números que no tienen raíz cuadrada "exacta")
x2 + 2 x + 3 = (x + )2
x
2.x.
2 x
El 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de
. Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.
EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")
-x2 + 6x - 9 = - (x2 - 6x + 9) = - (x - 3)2
x (-3)
2.x.(-3)
-6x
Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".
x + 3 = (x + )2x
2.x.
2
xEl 3 no es cuadrado de ningún número entero. Pero... es cuadrado de
. Porque que ()2 es igual a 3. Entonces el caso se puede aplicar dejando "expresados" los radicales.EJEMPLO 13: (Con los cuadrados "negativos")
-x2 + 6x - 9 = - (x2 - 6x + 9) = - (x - 3)2
x (-3)
2.x.(-3)
-6x
Éste sería ya un "ejercicio combinado", porque primero hay que "sacar factor común" para que los "cuadrados" queden positivos. O sea que estaríamos aplicando dos casos de factoreo. El factor común que hay que sacar es -1. Aunque también podemos pensar simplemente así: "Le ponemos un menos adelante y cambiamos todos los signos de los términos".
CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS
SOBRE EL TERCER CASO: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
¿Por qué se llama así el caso?
"Trinomio" significa "polinomio de tres términos". Como vemos en los ejemplos, son todos polinomios de 3 términos los que factorizamos con este Caso.
Y "cuadrado perfecto" es porque se trata del "cuadrado de algo". O sea, que "algo" elevado al cuadrado (a la potencia "2"), dió como resultado ese "trinomio" que tenemos que factorizar. (¿qué es un "cuadrado"?)
Más precisamente, son el resultado de elevar al cuadrado a "binomios" (polinomios de dos términos). Como (x + 5) por ejemplo.
¿Por qué se factoriza de esa manera?
Como en toda factorización, estamos buscando una expresión que sea equivalente al polinomio que nos dan, pero que sea una multiplicación (producto). Resulta que cuando elevamos un binomio al cuadrado, obtenemos un trinomio. Ya que un binomio al cuadrado se resuelve con la fórmula (¿qué es un "binomio"?):
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
"El cuadrado del primero, más el doble producto del primero por el segundo, más el segundo al cuadrado". (¿doble producto?)
Por ejemplo:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
Como se ve, el resultado tiene 3 términos. Elevamos un polinomio de 2 términos, y obtenemos uno de 3.
Ahora, si tenemos un polinomio de 3 términos, podemos pensar al revés: "Este polinomio, ¿se podrá obtener elevando al cuadrado a algún binomio (polinomio de dos términos)?".
Eso es lo que hacemos cuando aplicamos este Caso: analizamos el "trinomio" que nos están dando, para comprobar si puede ser el resultado de haber elevado a algún "binomio". En nuestro ejemplo, el trinomio x2 + 10x + 25 vino de elevar al cuadrado a (x + 5), y por eso el resultado de la factorización sería (x + 5)2.
Ahora, si no sabemos "de dónde vino" ¿cómo lo averiguamos? Bueno, para eso "analizamos" el trinomio. Miremos en la fórmula:
a2 + 2.a.b + b2
¿Cómo son los términos de un trinomio que es cuadrado de algo? Y... hay dos términos que son cuadrados: a2 y b2. Y el que está en el medio es siempre "2 multiplicado por las dos bases" (los que están al cuadrado, es decir "a" y "b"), o sea: 2.a.b (" el doble producto de a y b"). Entonces, para ver si un trinomio es cuadrado perfecto, tengo que buscar que todo eso se cumpla: Que haya dos términos que sean "cuadrados", y luego un término que sea igual a multiplicar por 2 a las bases de esos cuadrados.
(¿qué son las "bases"?) (¿qué es "doble producto"?)
Por ejemplo, en:
x2 + 10x + 25
Los términos "cuadrados" son x2 y 25. Las "bases" son x y 5. Y el término 10x debe ser igual entonces a 2.x.5 (el doble producto de las bases). Como 2.x.5 es igual a 10x, se cumple lo que estamos buscando.
Entonces, este trinomio cumple con todo lo que tiene que cumplir para ser el cuadrado de algo. Es el cuadrado de un binomio. Y ese binomio es (x + 5), la suma de las "bases". Por eso decimos que ese trinomio es igual a (x + 5)2.
De esta forma, transformamos un polinomio de 3 términos en un "producto", ya que (x + 5)2 es un producto. Es el producto de multiplicar (x + 5).(x + 5). Es decir, que "factorizamos" el polinomio (¿qué significa "factorizar"?)
¿Cómo puedo verificar si factoricé bien?
Como en cualquier caso de factoreo, "haciendo la multiplicación". Como el resultado de factorizar, siempre es una multiplicación, hago la multiplicación y tengo que obtener el polinomio original.
En este caso particular puedo hacerlo de dos maneras:
1) Aplicando la fórmula de cuadrado de un binomio ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2) al resultado que nos dió:
(x + 5)2 = x2 + 2.x.5 + 52 = x2 + 10x + 25
2) Multiplicando dos veces por sí mismo al binomio resultado (que es lo mismo que elevar al cuadrado):
(x + 5).(x + 5) = x2 + 5x + 5x + 25 = x2 + 10x + 25
¿Cómo me doy cuenta que podría aplicar este Caso a un polinomio?
Un poco ya lo dije en los puntos anteriores:
- El polinomio tiene que tener 3 términos.
- Dos de ellos tienen que ser "cuadrados", es decir, el cuadrado de algo. Si son números, tienen que ser números que tengan raíz cuadrada, como 1, 4, 9, 16, 25, 36, 1/4 , 9/25 , 0,04, etc. Si son letras, tienen que estar elevadas a potencias "pares", es decir, potencia 2, 4, 6, 8, etc (x2, a4, x6, etc.)
- Los términos que están al cuadrado no pueden tener un signo menos delante. Por ejemplo, si el trinomio es: -x2 - 4x + 4, puedo dar por descontado que no se puede aplicar el caso, porque -x2 no es cuadrado de nada. Nunca el cuadrado de algo es negativo, cualquier cosa elevada al cuadrado dá positiva. Entonces, nunca un binomio elevado al cuadrado (a + b)2 me va a dar un trinomio con algún cuadrado negativo (ya que a2 y b2van a dar positivos). El único término que puede ser negativo es el "doble producto" (2.a.b).
¿Cuándo desisto de usar el Caso?
Cuando luego de identificar a las bases, pruebo el "doble producto", y no dá ni igual ni el opuesto del término que no es cuadrado en el trinomio. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado.
Aclaremos que es cada cosa, con un ejemplo:
a2 + 14a + 49 =
a 7
2.a.7
En este ejemplo, los "cuadrados" son a2 y 49. Las bases son "a" y "7". El doble producto es 2.a.7 ("multiplicar por 2 a la multiplicación entre las bases"). Y "el término que no es cuadrado en el trinomio" es 14a. Desisto de usar el caso si 2.a.7 no diera 14a, ni -14a. Porque no verifica la fórmula de un binomio al cuadrado ((a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2)
¿Qué son las "bases"?
En una potencia (como x2, 25, etc.), se le llama "base" al número o letra que está elevado, es decir "el número o letra que está debajo del otro". Por ejemplo:
En x2 la base es la "x". La "x" está "debajo" del "2". La "x" está elevada a la "2".
En 25, la base es el "2". El "2" está "debajo" del "5". El "2" está elevado a la "5".
¿Por qué se habla de "doble producto"?
"Producto" se le llama a la multiplicación. "Doble" es "multiplicado por dos". "Doble producto" es "una multiplicación, multiplicada por dos". En este tema, al calcular el Cuadrado de un Binomio, aparece un "doble producto":
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
El "doble producto" del que me hablan es "2.a.b". Es decir: "el doble de la multiplicación de a con b", que son las "bases", o "el primero" (la "a") y "el segundo" (la "b") en el binomio.
Los que "no son cuadrado" seguro:
En los siguientes ejemplos se puede ver cómo reconocer términos que no pueden ser uno de los cuadrados que buscamos:
-4x Este término es negativo. Nunca el cuadrado de algo dá negativo. Cualquier cosa elevada a la potencia 2, dá positiva. Cuando aplico la fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2 , nunca el resultado de a2 o b2 me va a dar negativo. Entonces, queda claro que -4x podría ser "el término del medio" (2.a.b), y no puede ser uno de los "cuadrados" que tengo que encontrar.
4x Éste no es negativo, y el 4 es "cuadrado" (22 = 4). Podríamos confundirnos... Pero está esa "x". La "x" no es "cuadrado". Para que una letra sea "cuadrado", tiene que estar elevada a la potencia 2 (x2), a la potencia 4 (x4), a la potencia 6 (x6), o a cualquier otro número "par" (¿por qué?).
3x2 Éste tiene la x al cuadrado... Pero el 3 ¿es cuadrado de algún número? No, ningún número (entero o racional), elevado a la potencia 2, dá 3. (¿"entero o racional"?). Es lo mismo que decir "el 3 no tiene raíz cuadrada exacta". Si en la calculadora sacamos la raíz cuadrada de 3, veremos que dá un número con coma: 1,73205.... Ese número no nos sirve para usarlo como base en este tema de factoreo, tienen que usarse número enteros, fracciones o decimales exactos.
9x2b Ojo con éste. 9 es cuadrado. x2 también. Pero la b no es cuadrado de nada, por no ser potencia par. Este término entonces no puede ser uno de los cuadrados.
¿Podría ser que los tres términos sean "cuadrado" de algo?
Y... sí. Pero en ese caso, elegimos 2 de ellos, sacamos las bases, y verificamos el doble producto. Si no dá, probamos con otros dos y hacemos lo mismo. En cuanto el doble producto nos dé bien, es porque elegimos los cuadrados correctos. Por ejemplo:
x4 + 16x2y4 + 64y8 =
Los 3 pueden ser "cuadrados":
x4 es cuadrado de x2
16x2y4 es cuadrado de 4xy2
64y8 es cuadrado de 8y4
Pero en la mayoría de los ejercicios, esto no va a pasar. Y en este ejemplo, también nos podríamos dar cuenta que 16x2y4 tiene las dos letras (x e y), y los otros términos no. Eso nos sugiere que 16x2y4 es el "doble producto", porque las dos letras de los otros términos están multiplicándose.
Aunque también hay otros ejemplos donde ni por eso nos podríamos dar cuenta:
a4x4 + a8x4 + 4a6x6 =
Pero, en general, este tipo de ejercicios nos lo pueden dar cuando ya vimos todos los Casos de Factoreo. Se trata de un ejercicio combinado, donde se pueden ir aplicando varios Casos. Y en este ejemplo en particular, se aplicaría primero el Caso "Factor Común", y luego el "Trinomio Cuadrado Perfecto".
¿A qué le llamamos un "cuadrado"?
Se le llama cuadrado a la potencia "2". Si algo está elevado a la 2, se dice que está elevado "al cuadrado". Por ejemplo, x2 es "x al cuadrado".
También en este tema le llamamos "cuadrados" a los números, letras o términos que estén elevados a la 2, o que sean resultado de elevar a la 2 a algo. Decimos directamente que "x2 es un cuadrado", "25 es un cuadrado", etc. Por ejemplo:
25 es un cuadrado, porque es resultado de 52 (o sea, resultado de elevar algo a la 2)
9 es un cuadrado, porque es resultado de 32
1 es un cuadrado, porque es resultado de 12
a2 es un cuadrado, porque es resultado de elevar a la "a" a la potencia 2
x6 es un cuadrado, porque viene de elevar a x3 a la potencia 2, ya que (x3)2 = x6
(potencia de potencia)
b4 es un cuadrado, porque viene de elevar a b2 a la potencia 2, ya que (b2)2 = b4
(potencia de potencia)
Para este tema, conviene recordar cuáles los son primeros números naturales que son cuadrados, para poderlos reconocer rápidamente:
1 es cuadrado de 1
4 es cuadrado de 2
9 es cuadrado de 3
16 es cuadrado de 4
25 es cuadrado de 5
36 es cuadrado de 6
49 es cuadrado de 7
64 es cuadrado de 8
81 es cuadrado de 9
100 es cuadrado de 10
121 es cuadrado de 11
144 es cuadrado de 12
169 es cuadrado de 13
196 es cuadrado de 14
225 es cuadrado de 15
256 es cuadrado de 16
En cuanto a las letras, tienen que ser "potencias pares" para ser cuadrados (¿por qué?). Entonces, son cuadrados:
x2 es cuadrado de x
x4 es cuadrado de x2 (¿por qué?)
x6 es cuadrado de x3
x8 es cuadrado de x4
x10 es cuadrado de x5
etc.
¿Qué es el exponente?
Con un ejemplo se entiende mejor que definiendo:
En 25, el exponente es el 5. Es decir que se le llama "exponente" a "ese númerito que está arriba" en las potencias, mientras que al número de abajo se lo llama "base". En una potencia, el exponente es quien indica cuántas veces hay que multiplicar por sí misma a la base. Es decir que 25 significa 2.2.2.2.2
Potencia de Potencia
Decíamos por ejemplo, que " x6 es cuadrado de x3 ", y que era porque (x3)2 es igual a x6. Esto es porque (x3)2 se puede resolver usando una propiedad a la que le dicen "potencia de potencia", ya que se trata de calcular la potencia de algo que ya tiene exponente
(¿qué es "exponente"?). Esta propiedad dice que hay que "multiplicar los exponentes":
(x3)2 = x6, porque multipliqué "3 por 2", que dá 6
(x7)2 = x14, porque multipliqué "7 por 2", que dá 14
En general, la propiedad dice que:
(an)m = an.m
Veamos con algunos ejemplos cómo esta propiedad se cumple, usando el concepto de lo que es "elevar a una cierta potencia":
(x3)2 es igual a " x3 por x3 ", si usamos el concepto de potencia, ya que elevar a la 2 significa "multiplicar por sí mismo dos veces" (¿qué es una potencia?). O sea que:
(x3)2 = x3.x3 = x3 +3 = x6 (Sumo los exponentes por la propiedad de las potencias de igual base)
(x5)3 = x5.x5.x5 = x5 + 5 + 5 = x15 (y 3 por 5 es 15)
(x2)4 = x2.x2.x2.x2 = x2 + 2 + 2 + 2 = x8 (y 2 por 4 es 8)
Y si quieren entender aún más por qué, recuerden que "sumar varias veces lo mismo" es "multiplicar por el número de veces". Entonces, en (x5)3 = x5.x5.x5 , sumar 5 + 5 + 5 es lo mismo que multiplicar 5 por 3. Por esa razón, la propiedad dice que "se deben multiplicar los exponentes". En (x2)4 = x2.x2.x2.x2 tendríamos que sumar 4 veces al 2, así: 2 + 2 + 2 + 2. Y eso es lo mismo que multiplicar 2 por 4.
¿Qué es un "binomio"?
Se le llama "binomio" a un polinomio de 2 términos. Por ejemplo:
x + 4
x3 + x
a + b2
5 - a
etc.
Y un "binomio al cuadrado" es entonces "un polinomio de dos términos, elevado a la potencia 2". Por ejemplo:
(x + 5)2
(x2 + 3)2
(1 - a)2
etc.
Y se puede resolver de varias maneras:
1) Aplicando la fórmula: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, donde "a" es el primer término y "b" el segundo término (ejemplos de aplicación de esta fórmula). A la aplicación de esta fórmulas se le llama "Cuadrado de un binomio".
2) Multiplicando por sí mismo al binomio, basándonos en el concepto de potencia, es decir, en lo que significa elevar algo a la potencia 2: "multiplicar a algo dos veces por sí mismo". Ejemplo:
(x + 3)2 lo puedo resolver multiplicando (x + 3) por (x + 3)
Ejemplos de aplicación de la fórmula del "Cuadrado de un binomio":
Recordemos que la fórmula es: (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2. Donde "a" es el primer término y "b" el segundo.
- Con dos términos positivos:
(x + 7)2 = x2 + 2.x.7 + 72 = x2 + 14x + 49
- Con términos negativos:
(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El "segundo" es (-3)
(-x + 5)2 = (-x)2 + 2.(-x).5 + 52 = x2 - 10x + 25 El "primero" es (-x)
(-x - 1)2 = (-x)2 + 2.(-x).(-1) + (-1)2 = x2 + 2x + 1 El "primero" es (-x) y el "segundo" (-1)
- Con términos elevados:
(x5 + 2)2 = (x5)2 + 2.x5.2 + 22 = x10 + 4x5 + 4
(x - y2)2 = x2 + 2.x.(-y2) + (-y)2 = x2 - 2.x.y2 + y2
¿No existe una fórmula específica para cuando se trata de una resta al cuadrado?
Sí. De la conocida fórmula (a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2, se puede deducir una fórmula para resolver (a - b)2. La fórmula es:
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
Esta fórmula sirve solamente para "restas al cuadrado", lo que antes interpretábamos como: "el primer término es positivo y el segundo término es negativo".
Veamos cómo se aplicaría:
(x - 3)2 = x2 - 2.x.3 + 32 = x2 - 6x + 9 El primero es x, y el segundo es 3
Cuando reemplazamos en esta fórmula, ya no tenemos que pensar al segundo término (b) como "-3", sino como 3. Porque el "menos" lo tomamos como que es el signo de la operación resta. Son dos maneras distintas de pensar lo mismo.
Esta fórmula es práctica para hacer "directamente" lo que antes hacíamos reemplazando con (-3). Porque nos ahorramos el reemplazar con términos negativos. Para comparar, veamos como lo hacíamos con la otra fórmula:
(x - 3)2 = x2 + 2.x.(-3) + (-3)2 = x2 - 6x + 9 El "segundo" es (-3)
Se puede ver que reemplazar con un número negativo "retrasa" la visión de lo que va a ser el resultado final. En cambio con la nueva fórmula, ya sabemos de antemano que el "doble producto" va a dar negativo, en cambio el tercer término va a dar positivo por ser un cuadrado.
De todas maneras, hay que tener en cuenta que esta fórmula no sirve para aplicarla en polinomios como (-x + 4), o (-x - 3), donde ya no se puede ver al binomio como un "resta" de términos sin signo.
Es completamente decisión nuestra aprender las dos fórmulas (que no es difícil, porque son muy parecidas), o hacer todo con la fórmula de la suma.
Por último, veamos las dos fórmulas juntas para compararlas:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
¿Y no podría deducir una fórmula específica también para (-a + b)2 y para (-a - b)2?
Por supuesto que se puede, pero ¿quién quiere aprenderse 4 fórmulas, cuando puede hacerse todo con una sola?
Y además... darían las mismas dos fórmulas que ya conocemos... Pero habría que acordarse para cuál caso va cada una, lo cual no creo que sea práctico.
Anotemos de todos modos las 4 posibilidades. No porque las vayamos a usar para resolver cuadrados de binomios, sino para ver el fundamento de lo que plantea la siguiente pregunta. Estas son las 4 fórmulas posibles:
(a + b)2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a + b)2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a - b)2 = a2 + 2.a.b + b2 (¿Cómo se deducen todas estas fórmulas?)
Y esto me lleva a a:
¿Es verdad que este caso de factoreo tiene 2 resultados posibles, aunque nos piden uno sólo?
Efectivamente. Si miramos las 4 fórmulas de arriba, veremos que los resultados son en realidad solamente dos:
a2 + 2.a.b + b2 ; que viene de (a + b)2, pero también de (-a - b)2
a2 - 2.a.b + b2 ; que viene de (a - b)2, pero también de (-a + b)2
Entonces, si tengo un trinomio, viene de dos posibles cuadrados de binomios. Eso quiere decir, que si factorizo un trinomio, tiene dos resultados posibles. Ejemplos:
1) En general hacemos así:
x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
x 2.x.3 3
6x
Pero también lo podríamos haber pensado así:
x2 + 6x + 9 = (-x - 3)2
-x 2.(-x).(-3) -3
6x
Ya que elegiendo como bases a -x y a -3, también se verifica el doble producto (2.a.b)
Es decir que x2 + 6x + 9 se puede factorizar como (x + 3)2, o como (-x - 3)2. Ya que si resuelvo tanto uno como otro cuadrado de binomio, el resultado es el trinomio que quería factorizar. En definitiva, tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso (Trinomio cuadrado perfecto)
2) En general hacemos así:
x2 - 6x + 9 = (x - 3)2
x 2.x.(-3) (-3)
-6x
Pero también lo podríamos haber pensado así:
x2 - 6x + 9 = (-x + 3)2
(-x) 2.(-x).3 3
-6x
Ya que elegiendo como bases a -x y a 3, también se verifica el doble producto (2.a.b). Es decir que x2 - 6x + 9 tiene dos factorizaciones posibles usando este Caso. (otra explicación)
¿Cómo se deducen esas fórmulas de "Cuadrado de un binomio"?
Podemos aplicar el concepto de potencia y aplicar la distributiva.
(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2
(a - b)2 = (a - b).(a - b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a + b)2 = (-a + b).(-a + b) = a2 - a.b - a.b + b2 = a2 - 2.a.b + b2
(-a - b)2 = (-a - b).(-a - b) = a2 + a.b + a.b + b2 = a2 + 2.a.b + b2
O también, aplicando la primera fórmula a los otros binomios, podemos deducir las otras tres. Pero no es objetivo de esta página presentar este tipo de demostraciones que van más allá de lo que suele ver en el Nivel Medio.
¿Por qué cuando digo que "3 no es cuadrado de ningún número", aclaro: "entero o racional"?
Porque me refiero sólo a número enteros o número racionales, que son los que usamos en este tema. Ya que 3 sí puede ser cuadrado, pero lo es de un número irracional:
, porque(
)2 es igual a 3. (¿qué es un número entero?)¿Qué es un número racional?
Como definición se suele decir que es todo número que puede escribirse como una fracción (con numerador y denominador "entero"). En el conjunto de los Racionales estarían incluidos entonces:
- Todos los números naturales y los enteros. Porque "poniéndoles un 1 abajo" (como denominador), los podemos escribir como fracción (3 = 3/1 ; -2 = -2/1 ; 0 = 0/1 ; etc.)
- Los decimales exactos y los decimales periódicos, porque se pueden "pasar a fracción" siguiendo ciertas reglas. (0,07 = 7/100 ; 0,44444... = 4/9 ; etc.)
- Y las fracciones, por supuesto (2/3 ; 5/2 ; etc.)
En cambio no son números racionales:
- Los decimales con infinitas cifras decimales no periódicas (no hay algo que se repite). Lo que incluye a las raíces que no dan resultado exacto:
= 1,7325... ; = 2,2360679... ; y otros números conocidos, como PI = 3,1415926... y e= 2,71828... A todos estos se los llama números irracionales.- Los números complejos: 2 + 3i ; -5i ; etc.
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