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sábado, 14 de marzo de 2015
jueves, 2 de octubre de 2014
FACTORIZACIÓN
DEFINICIÓN
Factorizar o Factorear significa "transformar en multiplicación" (o "producto", como también se le llama a la multiplicación). Partimos de una expresión formada por sumas y/o restas de términos (x2 + 3x + 2 por ejemplo), y llegamos a una expresión equivalente, pero que es una multiplicación ( (x + 2).(x + 1) en nuestro ejemplo).
¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?
Porque a los elementos que están multiplicando en una multiplicación se les llama "factores". Por ejemplo, en la multiplicación 2 x 3 = 6 , el 2 y el 3 son los "factores".
En el ejemplo del punto anterior, (x + 2) y (x + 1) son los factores.
¿Para qué sirve factorizar un polinomio?
Por ejemplo, tener factorizada la fórmula de una función polinómica sirve para encontrar o visualizar los "ceros" o "raíces". Y eso es algo de gran utilidad en varios temas: para analizar la positividad y negatividad de la función, o para encontrar los máximos y/o mínimos. También la factorización de polinomios se puede utilizar para: resolver inecuaciones de grado 2 o mayor, hallar algunos límites, resolver ecuaciones polinómicas fraccionarias, identidades y ecuaciones trigonométricas, etc. Es decir que nos enseñan a factorizar porque en otros temas de Matemática necesitaremos factorizar polinomios para trabajar con multiplicaciones en vez de sumas y restas.
¿Cómo puedo saber si factoricé correctamente?
Multiplicando los factores que obtuvimos tenemos que poder llegar a la misma expresión de sumas y/o restas de la que partimos. No olvidemos que al factorizar estamos obteniendo una expresión equivalente a la original, pero con distinta forma (de multiplicación). Si luego multiplico todos los factores que quedaron en el resultado, tengo que volver "al principio". De esta forma estamos haciendo una "verificación". Por ejemplo:
Factoreo (con el Séptimo caso: Trinomio de segundo grado):
x2 + 3x + 2 = (x + 2).(x + 1)
Verificación (Multiplicación aplicando la Propiedad distributiva):
(x + 2).(x + 1) = x2 + x + 2x + 2 = x2 + 3x + 2
En casi todos los casos se puede decir que "factorizar es lo contrario de multiplicar" o "factorizar es lo contrario de aplicar la distributiva" (Propiedad distributiva de la multiplicación con la suma).
¿Por qué se llama "factorizar" o factorear?
Asimismo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los números complejos. Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.
- Binomios
- Diferencia de cuadrados
- Suma o diferencia de cubos
- Suma o diferencia de potencias impares iguales
- Trinomios
- Trinomio cuadrado perfecto
- Trinomio de la forma x²+bx+c
- Trinomio de la forma ax²+bx+c
- Polinomios
- Factor común
- Triángulo de Pascal como guía para factorizar.
CASOS DE FACTORIZACIÓN
- Factor común.
- Factor común por agrupación de términos.
- Diferencia de cuadrados.
- Trinomio cuadrado perfecto x^2+bx+c^2.
- Trinomio cuadrado por adición y sustracción.
- Trinomio de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c (de segundo grado).
- Factor común.
- Factor común por agrupación de términos.
- Diferencia de cuadrados.
- Trinomio cuadrado perfecto x^2+bx+c^2.
- Trinomio cuadrado por adición y sustracción.
- Trinomio de la forma x2 + bx + c y ax2 + bx + c (de segundo grado).
- Cubo perfecto.
- Suma y diferencia de cubos.
- Suma o diferencia de potencias iguales.
- Regla de Ruffini (división algebraica).
- Triángulo de Pascal.
- Cubo perfecto.
- Suma y diferencia de cubos.
- Suma o diferencia de potencias iguales.
- Regla de Ruffini (división algebraica).
- Triángulo de Pascal.
martes, 19 de agosto de 2014
SISTEMA DE TRES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS
Método de Reducción
Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede asi:
- Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (por suma o resta)
- Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas mismas incógnitas que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
- Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenidos, hallando de este modo dos de las incógnitas.
- Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con la cual se halla la tercera incógnita.
EJEMPLO:
1.) Resolver el sistema
x + 4y - z = 6 (1)
2x + 5y - 7z = -9 (2)
3x - 2y + z = 2 (3)
SOLUCIÒN:
Combinamos la ecuación (1) y (2), donde vamos a eliminar la x, multiplicando la ecuación (1) por - 2
-2 (x + 4y - z = 6) -2x - 8y + 2z = -12
2x + 5y - 7z = -9
Restando o sumando: / - 3y - 5z = -21 (4)
Combinamos la ecuación (3) y (1), donde eliminamos x, multiplicando la ecuación (1) por - 3
-3 (x + 4y - z = 6) -3x - 12y + 3z = -18
3x - 2y + z = 2
Restando o sumando: / - 14y + 4z = - 16 (5)
Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenidos (4) y (5) y formamos un sistema.
- 3y - 5z = -21
- 14y + 4z = - 16
Resolvamos este sistema. Vamos a eliminar la z, multiplicando la ecuación (4) por 4 y la ecuación (5) por
4 (- 3y - 5z = -21) -12y - 20z = - 84
5 (- 14y + 4z = - 16) - 70y + 20z = - 80
- 82 y / = - 164
y = -164/ -82
y = 2
Ahora sustituimos y = 2 en la ecuación (5) se tiene:
- 14y + 4z = - 16
- 14(2) + 4z = - 16
- 28 + 4z = - 16
4z = - 16 + 28
4z = 12
z = 12/4
z = 3
Sustituyendo y = 2 , z = 3 , en cualquiera de las 3 ecuaciones dadas, por ejemplo en la ecuación (1)
x + 4y - z = 6
x + 4(2) - 3 = 6
x + 8 = 6 + 3
x = 9 - 8
x = 1
SOLUCIÒN:
x = 1
y = 2
z = 3
Método de Gauss
Resolver sistemas de ecuaciones lineales con 3 incógnitas
Resolver sistemas lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Gauss.
Sistemas de ecuaciones incompletos
domingo, 17 de agosto de 2014
PRODUCTOS NOTABLES
DEFINICIÓN.
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas que cumplen ciertas reglas fijas, cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación.
Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Cuadrado de la diferencia de dos cantidades
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.
Demostración:
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades
(o producto de dos binomios conjugados)
(a + b) (a – b) = a2 – b2 |
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos el cuadrado de la segunda
Demostración:
Producto de dos binomios con un término común, de la forma:
(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab |
(x + a) (x – b) = x2 + (a – b)x – ab |
Demostración:
x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b) |
Demostración:
(mx + a) (nx + b) = mnx2 + (mb + na)x + ab |
En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx y nx).
Demostración:
Cubo de una suma de dos cantidades
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 |
Trinomio al cuadrado
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc |
A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresión algebraica que lo representa:
Producto notable | Expresión algebraica | Nombre | |
(a + b)2
|
=
|
a2 + 2ab + b2
|
Binomio al cuadrado
|
(a + b)3
|
=
|
a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
|
Binomio al cubo
|
a2 - b2
|
=
|
(a + b) (a - b)
|
Diferencia de cuadrados
|
a3 - b3
|
=
|
(a - b) (a2 + b2 + ab)
|
Diferencia de cubos
|
a3 + b3
|
=
|
(a + b) (a2 + b2 - ab)
|
Suma de cubos
|
a4 - b4
|
=
|
(a + b) (a - b) (a2 + b2)
|
Diferencia cuarta
|
(a + b + c)2
|
=
|
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
|
Trinomio al cuadrado
|
sábado, 1 de marzo de 2014
ECUACIONES DE PRIMER GRADO O LINEALES
Muchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a través de una relación de igualdad, llamada ecuación. Las ecuaciones tienen aplicación en todas las ramas de la Matemática y de las ciencias en general, por lo que su estudio es de suma importancia.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que solo se verifica para ciertos valores determinados.
En el caso de
la igualdad se cumple si y sólo si x vale 2, por lo tanto es una ecuación.
En la caso de
la igualdad se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto no es una ecuación. En este caso de trata de una identidad. La identidad también es una igualdad entre dos expresiones algebraicas al igual que una ecuación, pero que se verifica para cualquier valor.
Las igualdades de los productos y cocientes notables, estudiadas en el capítulo anterior, son identidades.
Términos de una Ecuación
Son cada una de las cantidades que están conectadas por los signos + ó –
El primer miembro corresponde a toda la expresión que está antes del signo =.
El segundo miembro corresponde a toda la expresión que está después del signo =.
Los términos 5 y 7 que no están acompañados de letras se llaman términos independientes.
La letra o letras presentes en la ecuación se llaman incógnitas o valores desconocidos.
Grado de una Ecuación
El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la incógnita.
La ecuación
Es una ecuación de segundo grado o cuadrática, ya que el mayor exponente de x es 2.
Solución de una Ecuación
Es averiguar el valor o los valores de la incógnita. Este valor se llama raíz.
- Quitar paréntesis.
- Quitar denominadores.
- Para encontrar la solución o raíz de una ecuación se despeja la incógnita mediante la transposición de términos con operación contraria (Si está sumando pasa al otro miembro de la ecuación a restar o viceversa, si está multiplicando pasa al otro miembro a dividir o viceversa.)
- Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
- Reducir los términos semejantes.
- Despejar la incógnita.
El principio de la transposición de términos se fundamenta en las siguientes propiedades de las igualdades:
- Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta una misma cantidad, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen una misma cantidad, la igualdad subsiste.
-Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
Las ecuaciones de primer grado son del tipo:
ax + b = 0 donde a ≠ 0
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
EJEMPLO 1
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Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). |
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Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente. |
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Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos. |
EJEMPLO 2
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(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x) |
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(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x) |
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(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”) |
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(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo) |
EJEMPLO 3
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(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1) |
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(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1) |
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(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando. |
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EJEMPLO 4
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EJEMPLO 5
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EJEMPLO 6
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(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3. |
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.Veamos el siguiente ejemplo:
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Primero quitamos los paréntesis. |
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Reducimos términos semejantes. |
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Ahora quitamos los corchetes. |
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Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas. |
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Nuevamente reducimos términos semejantes |
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Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos. |
Advertencia
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5
Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).Observemos un ejemplo:
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Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis. |
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Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.) |
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Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad. |
 |
Despejamos x pasando 3 a dividir. |
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Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).Veamos un problema característico:
EJEMPLO 1
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x edad de Pedro
y edad de Álvaro
z edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):
y = x + 3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):
z = x – 7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro: x
edad de Álvaro: x +3
edad de María: x – 7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro: x = 14 años
edad de Álvaro: x + 3 = 17 años
edad de María: x – 7 = 7 años
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