EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos)

4a + 4b + xa + xb = 4.(a + b) + x.(a + b) = (a + b).(4 + x)

Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b).

EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado")

4a + 4b + xb + xa = 4.(a + b) + x.(b + a) = 4.(a + b) + x.(a + b) = (a + b).(4 + x)

En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)

EJEMPLO 3: (Con términos negativos)

4a - 4b + xa - xb = 4.(a - b) + x.(a - b) =      (a - b).(4 + x)

Si los "resultados" quedan iguales no hay problema.

EJEMPLO 4: (Con términos negativos y "Resultado desordenado")

4a - 4b - xb + xa = 4.(a - b) + x.(-b + a) = 4.(a - b) + x.(a - b) =       (a - b).(4 + x)

En el primer paso quedó desordenado, pero luego puedo cambiar el orden
de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 5: (Resultados "opuestos")

4a - 4b - xa + xb = 4.(a - b) + x.(-a + b) = 4.(a - b) - x.(a - b) =        (a - b).(4 - x)

En el primer paso quedaron los signos opuestos para los dos términos.
Pero en el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de
signos" (lo que en realidad es Sacar Factor Común negativo)

EJEMPLO 6: (Resultados "opuestos" y "desordenados")

4a - 4b + xb - xa = 4.(a - b) + x.(b - a) = 4.(a - b) - x.(-b + a) = 4.(a - b) - x.(a - b) =       (a - b).(4 - x)

Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo
opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago
un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio
el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

EJEMPLO 7: (Todos los términos son negativos)

-4a - 4b - xa - xb = -4.(a + b) - x.(a + b) =       (a + b).(-4 - x)

En estos casos es casi mejor sacar directamente Factor Común negativo
(¿Cómo sacar Factor Común negativo?) Y sino también, en la "EXPLICACIÓN",
también muestro cómo se haría sacando Factor Común positivo.

EJEMPLO 8: (Agrupando términos no consecutivos)

4x²a + 3y + 12ax + yx = 4ax.(x + 3) + y.(3 + x) = 4ax.(x + 3) + y.(x + 3) =       (x + 3).(4ax + y)

No siempre podemos agrupar en el orden en que viene el ejercicio. Tiene que
haber Factor Común entre los que agrupamos, y el "resultado" debe dar igual
(o desordenado u opuesto, como se ve en los ejemplo anteriores).
En este caso tuve que agrupar primero con tercero y segundo con cuarto.

EJEMPLO 9: (Polinomio de 6 términos)

4a - 7x²a + ya + 4z - 7x²z + yz = a.(4 - 7x² + y) + z.(4 - 7x² + y) =        (4 - 7x² + y).(a + z)

Aquí hay 6 términos, y dos maneras posibles de agrupar: 2 grupos de 3 términos,
o 3 grupos de 2 términos. En este caso agrupé de a 3 términos. (Para verlo también
de la otra forma, consultar en la EXPLICACIÓN)

EJEMPLO 10: (Cuando parece que no se puede aplicar el caso, pero se puede)

4x³ - 4x² + x - 1 = 4x².(x - 1) + x - 1 = 4x².(x - 1) + 1.(x - 1) =      (x - 1).(4x² + 1)

Parece que no se pudiera aplicar el caso, porque entre la x y el 1 que quedaron
no hay Factor Común. Sin embargo el caso se puede aplicar, sólo se trata de
saber reconocer la situación. En el paso 2 es donde se vislumbra la posibilidad
de usar el caso, por el resultado que dió la primera agrupación: (x - 1), que es igual
a lo que quedó sin agrupar.

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

SOBRE EL SEGUNDO CASO: FACTOR COMÚN EN GRUPOS

¿Por qué se llama así el caso?

Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común
entre ellos.

¿Y por qué se eligen "grupos" de términos?

Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los
términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos
términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos".

¿Y siempre se puede aplicar este caso?

No, el polinomio tiene que cumplir varias condiciones para que
se pueda aplicar el caso:

1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos,
8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad
de términos).

2. En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor
Común entre los términos que agrupamos (con un caso excepcional:
ver EJEMPLO 10).

3. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos
deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u
opuestos (con signo contrario) (EJEMPLO 2 - EJEMPLO 5 -EJEMPLO 6)

¿Si los resultados me dan diferentes, significa siempre que
no podré aplicar el caso?

No siempre, porque puedes probar agrupando de distinta manera.
Muchas veces la dificultad de este Caso está justamente en encontrar
cuáles términos agrupar con cuáles, para que el resultado dé como
tiene que dar. Que no dé bien en un primer intento no quiere
decir que no pueda aplicarse.

¿Cómo tienen que ser los "resultados" para poder seguir con el caso?

Luego de agrupar y sacar Factor Común en los grupos, los resultados
tienen que ser de alguna de las siguientes formas:

1. Iguales. Por ejemplo, (x + 3) en un agrupación, y (x + 3) en otra
agrupación

2. Los mismos términos, pero desordenados. Por ejemplo (x + 3) y (3 + x)

3. Los mismos términos, pero con los signos contrarios. Por ejemplo,
(x + 3) y (-x - 3). O también (x - 3) y (-x + 3)

4. Los mismos términos, pero desordenados y con los signos contrarios.
Por ejemplo: (x + 3) y (-3 - x). O también (x - 3) y (3 - x)

5. Caso excepcional (EJEMPLO 10): El resultado de una agrupación
tiene que ser igual (o también "desordenado y/u opuesto") a los
términos que quedan sin agrupar. Por ejemplo:

4x². (x + 1) + x + 1

Se puede ver que luego de agrupar el primer y segundo término,
el resultado es (x + 1), casualmente igual a los otros dos términos
que quedaron sin agrupar (porque no había Factor Común entre ellos).

¿Cuándo desisto de usar el caso?

Cuando probé agrupar de distintas maneras y nunca dan resultados
que sirvan (Ver los resultados que sirven en la pregunta anterior).

¿Cómo me doy cuenta de que dos términos son
iguales pero están desordenados?

Piensa en cada término con el signo que tiene delante. Y
recordemos que si un término no tiene nigún signo delante,
hay que asumir que tiene el signo "+". Mira estos ejemplos:

(x + 3) es igual a (3 + x), porque los términos son "la x positiva (+x)"
y "el 3 positivo (+3)" (En realidad, es porque la suma cumple una
propiedad llamada "Conmutativa")

(a - b) es igual a (-b + a), porque los términos son "la a positiva (+a)"
y "el b negativo (-b)".

(-x - 1) es igual a (-1 - x), porque son los términos "x negativa (-x)" y
"1 negativo (-1)"

¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales
pero con el signo contrario (o sea, que son "opuestos")?

Igual que en el punto anterior, mirando atentamente cada término
con su signo (el signo que tiene delante; y si no hay nada, hay un "+").
Por ejemplo:

(x + 5) tiene los signos contrarios a (-x - 5)
(x - 3) tiene los signos contarios a (-x + 3)

¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales pero
desordenados y con el signo contrario?

De la misma manera que en los dos puntos anteriores: Mirando
atentamente cada término con su signo (el signo que tiene delante;
y si no hay nada, hay un "+"). Por ejemplo:

(x + 5) es "desordenado y contrario" con (-5 - x)
(x - 4) es "desordenado y contrario" con (4 - x)
(-x + 1) es "desordenado y contario" con (-1 + x)