FACTOR COMÚN

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 1: (Hay factor común entre los números)

8a - 4b + 16c + 12d = 4. (2a - b + 4c + 3d)


El factor común es el número 4, el Máximo Común Divisor entre los números. 

EXPLICACIÓN:

"Saco" el número 4 multiplicando a un paréntesis . A eso se le dice "sacar factor común 4". Luego divido a cada término por el número 4, y voy poniendo todos los resultados dentro del paréntesis, sumando o restando según el signo que resulte de la división. Así:

Primer término:

8a : 4 = 2a                    este término dió "positivo"

Segundo término:

-4b : 4 = -b                   este término dió "negativo"

Tercer término:

16c : 4 = 4c

Cuarto término:

12d : 4 = 3d               


De esa manera obtuve cada uno de los términos que puse dentro del paréntesis. Sacar factor común 4 significa "dividir a todos los términos por 4".


Observación: Al dividir todos los términos por un número positivo, todos los términos resultaron con el mismo signo que ya traían.

FACTOR COMÚN / EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 2: (Con números grandes)


36x⁴ - 48x⁶ - 72x³ + 60x⁵ = 12x³. (3x - 4x³ - 6 + 5x²)

Entre números grandes es más difícil hallar el factor común. Hay que calcular el Máximo Común Divisor (MCD).

EXPLICACIÓN:


1) Saco factor común 12x³. Porque 12 es el mayor número que divide a 36, 48, 72 y 60. Es el Máximo Común Divisor entre esos números
Y x³ , porque es la x con el menor exponente que aparece


2) Luego, divido cada término por 12x³

Primer término:

36x⁴ : 12x³ = 3x

Segundo término:

- 48x⁶ : 12x³= -4x³

Tercer término:

- 72x³ : 12x³ = -6

Cuarto término:

60x⁵ : 12x³ = 5x²              

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

¿Porque 12x³ es el factor común?

Porque 12 es el Mayor número por el cual se puede dividir a 36, 48, 72 y 60. Es decir, es el Máximo Común Divisor (MCD o DCM) entre esos números. Cuando los coeficientes son números grandes , como en este ejemplo, puede que no sea tan fácil darse cuenta de cuál es el mayor número que divide a todos ellos . Entonces, podemos hallar el Máximo Común Divisor con el conocido procedimiento de descomponer a los números. En cuanto a la x³, se trata de una letra que está repetida en todos los términos, y debemos sacarla con el menor exponente con que aparece en el polinomio.


Cálculo del Máximo Común Divisor en este ejemplo:

36 | 2
18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 1

48 | 2
24 | 2
12 | 2
 6 | 2
 3 | 3
 1 | 1

72 | 2
36 | 2
18 | 2
 9 | 3
 3 | 3
 1 | 1

60 | 2
30 | 2
15 | 3
 5 | 5
 1 | 1

El MCD es entonces 2.2.3  ó  2².3 , lo que es igual a 12


EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES


- Primer término:   36x⁴ : 12x³ = 3x

" 36 dividido 12 dá  3 "

" x⁴ dividido x³ dá x "    ( x⁴ : x³ = x¹ = x .  Porque se restan los exponentes al ser división de potencias de igual base)

El resultado final para el primer término es 3x


- Segundo término:   - 48x⁶ : 12x³ = - 4x³

" -48 dividido 12 dá -4 "

" x⁶ dividido x³ dá x³ "      (x⁶ : x³ = x^6-3 = x³ .  Porque se restan los exponentes al ser división de potencias de igual base)

El resultado final para el segundo término es -4x³

- Tercer término:   - 72x³ : 12x³ = - 6

" -72 dividido 12 dá -6 "

" x³ dividido x³ dá 1 "       (Como cualquier cosa que se divide por sí misma dá "1". O también, aplicando las propiedades de las potencias de igual base se llega a lo mismo, ya que x³ : x³ = x^3-3 = x⁰ = 1)

El resultado final para el tercer término sería -6.1, lo que es igual a -6


- Cuarto término:  60x⁵ : 12x³ = 5x²

" 60 dividido 12 dá 5 "

" x⁵ dividido x³ dá x²      (Se restan los exponentes)

El resultado final para el tercer término es igual a 5x²


Más ejercicios resueltos, parecidos al Ejemplo 6:
50x + 75y - 100a - 150b = 25.(2x + 3y - 4a - 6b)

64a² + 80a - 112a⁵ + 96a³ = 16a.(4a + 5 - 7a⁴ + 6a²)

-104x⁵ - 24y⁴ - 40z - 56z³ = 8.(-13x⁵ - 3y⁴ - 5z - 7z³)

45a⁴ - 72ab³ - 108b² = 9.(5a⁴ - 8ab³ - 12b²)

EJEMPLO 4: (Con fracciones)


4/3 x - 8/9 x³ + 16/15 x⁷ - 2/3 x⁵

= 2/3 x. (2 - 4/3 x² + 8/5 x⁶ - x⁴)

EXPLICACIÓN

1) Saco factor común 2/3 x.

¿Por qué 2/3? Cuando hay fracciones, puedo pensarlo así: Saco el factor común entre los numeradores por un lado, y saco el factor común de los denominadores por el otro. El factor común del polinomio será una fracción formada por esos dos factores comunes, en su respectivo orden.

Aplicado a nuestro ejemplo:

El factor común entre los numeradores es 2, y el factor común entre los denominadores es 3. Entonces, el factor común de todo el polinomio es:
                               
                               "2 sobre 3" (2/3)

¿Porqué la x? Por ser la de menor exponente, como ya se vió en ejemplos anteriores

2) Luego, divido cada término por 2/3 x.

Primer término:

4/3 x : 2/3 x = 2

Segundo término:

- 8/9 x³ : 2/3 x = -4/3 x²

Tercer término:

16/15 x⁷ : 2/3 x = 8/5 x⁶

Cuarto término:

-2/3 x⁵ : 2/3 x = - x⁴     

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOS

¿Porque 2/3 es factor común, y cómo me doy cuenta?

Cuando tenemos fracciones, podemos mirar los numeradores (4, 8, 16 y 2), y pensar si hay factor común entre ellos. En este caso, entre los numeradores el factor común es 2, ya que es su MCD. Y luego mirar los denominadores (3, 9, 15 y 3), y ver si hay factor común entre ellos. En este caso el factor común entre los denominadores es 3. De ahí viene el2/3, el 2 es el factor común de los numeradores y el 3 es el de los denominadores. Con esos dos números formamos una fracción y la sacamos como factór común.

¿Hay una manera práctica de dividir las fracciones cuando saco factor común?

Sí: "Lo de arriba con lo de arriba, y lo de abajo con lo de abajo".
Por ejemplo:

Para dividir  8/9 : 2/3,  hago así: "8 dividido 2, dá 4. Y 9 dividido 3, dá 3". El resultado es la fracción "4 sobre 3", es decir 4/3.


¿Qué pasa si no hay factor común entre los numeradores, y sí lo hay entre los denominadores?

En un caso así podemos decir que el factor común entre los numeradores es "1", y entonces la fracción se formaría con un "1" arriba, el factor común de los denominadores abajo. En el ejemplo que sigue se ve mejor:

2/5 x - 3/10 y + 1/5 z = 1/5 (x - y + z)

Entre los numeradores (2, 3 y 1) no hay factor común. Pero entre los denominadores (5, 10 y 5) sí lo hay, es el número "5". Entonces, saco como factor común la fracción "1/5".
Porque recordemos que el MCD entre varios números puede ser también el "1". Es decir que el factor común sería el número "1". Y en casos como estos es cuando recurrimos a sacar factor común "1", ya que sino la fracción me quedaría incompleta, vacía en su numerador, lo que no tendría sentido. Como entre 2, 3 y 5 el MCD es "1", y tengo la necesidad de "sacar algo" para completar un espacio en la fracción, entonces saco el "1". 

¿Qué pasa si no hay factor común entre los denominadores, y sí lo hay entre los numeradores?

Saco factor común entre los numeradores y nada más. En este caso no hace falta poner el "1" en el denominador, porque una fracción con denominador "1" representa a un número entero. Es decir: "el uno de abajo no se pone". Ejemplo:

2/3 x + 4/5 y - 8/9 z = 2. (1/3 x + 2/5 y - 4/9 z)


¿Qué pasa si en el polinomio también hay número enteros, además de las fracciones?

Si algunos coeficientes son números enteros, puedo pensar que "tienen un 1 abajo". Entre los denominadores no habrá factor común, y podría haberlo solamente entre los numeradores.
Por ejemplo:

4/3 x - 8 y + 2/5 z + 6 w = 2. (2/3 x - 4 y + 1/5 z + 3 w)

Entre los numeradores, el factor común es "2". Y como hay números sin denominador, no hay factor común entre los denominadores. Solamente sería el número "1", pero "el 1 de abajo no se pone".


EXPLICACIÓN DE LAS DIVISIONES

Las divisiones que hicimos al sacar factor común 2/3 x , son divisiones entre monomios. En ellas, dividimos "el número por el número, y letra por letra igual". Recordando que cuando dividimos las letras tenemos que restar los exponentes, de acuerdo a las propiedades de las potencias de igual base 

Primer término:   4/3 x : 2/3 x= 2          (Un caso particular)

Aquí hay que dividir 4/3 : 2/3 , lo que dá como resultado 2. Y x dividido x , que dá 1. El resultado final es 2.1 = 2
Si lo pensamos de la "manera práctica" que expliqué antes, sería así:

" 4 dividido 2 dá 2 "       "El de arriba con el de arriba".   "Arriba queda 2"

" 3 dividido 3 dá 1 "       "El de abajo con el de abajo".   "Abajo queda 1, pero no se pone"

" x dividido x dá  1 "      "No se pone"

El resultado para el primer término sería "2/1 . 1" , cuenta que dá como resultado 2.


Segundo término:  - 8/9 x³ :  2/3 x

Aquí hay que dividir -8/9 : 2/3 , lo que dá como resultado -4/3. Y dividir x³ dividido x, lo que da como resultado x². El resultado completo es -4/3 x²

Con la regla práctica sería así:

" 8 dividido 2 dá 4 "       "Arriba queda 4"
" 9 dividido 3 dá 3 "       "Abajo queda 3"
" x³ dividido x dá x² "     "Por el lado de las letras queda x² "   

El resultado para el segundo término es entonces 4/3 x²


Tercer término:  16/15 x⁷ : 2/3 x = 8/5 x⁶

" 16 dividido 2 dá 8 "
" 15 dividido 3 dá 5 "
" x⁷ dividido x dá x⁶ "

El resultado para el tercer término es 8/5 x⁶


Cuarto término:  -2/3 x⁵ : 2/3 x = - x⁴

" -2 dividido 2 dá -1 "
" 3 dividido 3 dá 1 "
" x⁵ dividido x dá x⁴ "

El resultado para el cuarto término es -1/1 .x⁴ o sea -1.x⁴ o mejor -x⁴ 

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.

un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

EJEMPLO 1: (Todos los términos son positivos) 4a  +  4b  +  xa  +  xb  = 4.(a + b)  +  x.(a + b) =      (a + b).(4 + x) Saco factor común "4" en el primer y segundo término; y factor común "x" en el tercer y cuarto término. Los dos "resultados" son iguales: (a + b). Luego, saco como factor común a (a + b). EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1 EJEMPLO 2: ("Resultado desordenado") 4a +  4b  +  xb  +  xa = 4.(a + b) +  x.(b + a) = 4.(a + b) +  x.(a + b) =      (a + b).(4 + x) En el primer paso el "resultado" quedó "desordenado": (b + a). Pero puedo cambiar el orden de los términos, ya que (b + a) es igual que (a + b)