SUCESIONES Y SERIES

¿Qué es una sucesión?

Una sucesión es un conjunto de cosas (normalmente números) una detrás de otra, en un cierto orden.

Finita o infinita

Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita

Ejemplos

{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

En orden

Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!

Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces).

Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}

La regla

Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.

Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:

 

¡Pero la regla debería ser una fórmula!

Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:

• 10º término,
• 100º término, o
• n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que queramos).

Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).

Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?

Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:

Probamos la regla: 2n

n	Término	Prueba
1	3	2n = 2×1 = 2
2	5	2n = 2×2 = 4
3	7	2n = 2×3 = 6

Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:

Probamos la regla: 2n+1

n	Término	Regla
1	3	2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2	5	2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3	7	2n+1 = 2×3 + 1 = 7

¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como

La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1

Ahora, por ejemplo, podemos calcular el término 100º: 2 × 100 + 1 = 201

Notación

Para que sea más fácil escribir las reglas, normalmente lo hacemos así:

	Posición del término
	Es normal usar xn para los términos: xn es el término n es la posición de ese término
	Así que para hablar del "quinto término" sólo tienes que escribir: x5

Entonces podemos escribir la regla para {3, 5, 7, 9, ...} en forma de ecuación, así:

x_n = 2n+1

Ahora, si queremos calcular el 10º término, podemos escribir:

x₁₀ = 2n+1 = 2×10+1 = 21

¿Puedes calcular el 50º término? ¿Y el 500º?

Ahora veamos algunas sucesiones especiales y sus reglas:

TIPOS DE SUCESIONES

Sucesiones aritméticas

El ejemplo que acabamos de usar, {3,5,7,9,...}, es una sucesión aritmética (o progresión aritmética), porque la diferencia entre un término y el siguiente es una constante.

Ejemplos

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 3 entre cada dos términos.

La regla es x_n = 3n-2

3, 8, 13, 18, 23, 28, 33, 38, ...

Esta sucesión tiene una diferencia de 5 entre cada dos términos.

La regla es x_n = 5n-2

Sucesiones geométricas

En una sucesión geométrica cada término se calcula multiplicando el anterior por un número fijo.

Ejemplos:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Esta sucesión tiene un factor 2 entre cada dos términos.

La regla es x_n = 2ⁿ

3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187, ...

Esta sucesión tiene un factor 3 entre cada dos términos.

La regla es x_n = 3ⁿ

4, 2, 1, 0.5, 0.25, ...

Esta sucesión tiene un factor 0.5 (un medio) entre cada dos términos.

La regla es x_n = 4 × 2^-n

Sucesiones especiales

Números triangulares

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Esta sucesión se genera a partir de una pauta de puntos en un triángulo.
Añadiendo otra fila de puntos y contando el total encontramos el siguiente número de la sucesión.

Pero es más fácil usar la regla

x_n = n(n+1)/2

Ejemplo:

• El quinto número triangular es x₅ = 5(5+1)/2 = 15,
• y el sexto es x₆ = 6(6+1)/2 = 21

Números cuadrados

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, ...

El siguiente número se calcula elevando al cuadrado su posición.

La regla es x_n = n²

  Números cúbicos

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, ...

El siguiente número se calcula elevando al cubo su posición.

La regla es x_n = n³

 

Números de Fibonacci

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

El siguiente número se calcula sumando los dos que están antes de él.
El 2 se calcula sumando los dos delante de él (1+1)
El 21 se calcula sumando los dos delante de él (8+13)

La regla es x_n = x_n-1 + x_n-2

Esta regla es interesante porque depende de los valores de los términos anteriores.
Por ejemplo el 6º término se calcularía así:

x₆ = x_6-1 + x_6-2 = x₅ + x₄ = 5 + 3 = 8

Series

"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series se suelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":

	Esto significa "suma de 1 a 4" = 10
	Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24

PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS

DEFINICIÓN DE SUCESIÓN

Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.

Progresiones aritméticas

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.

Diferencia

d = a_n - a_n-1

Término general de una progresión aritmética

a_n = a₁ + (n - 1) · d

a_n = a_k + (n - k) · d

Interpolación de términos

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m. 

Suma de términos equidistantes

a_i + a_j = a₁ + a_n

a₃ + a_n-2 = a₂ + a_n-1 = a₁ + a_n

Suma de n términos consecutivos

 

Ejercicios de aplicación

 

1.- El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.

a ₄ = 10;          a ₆ = 16

 a _n = a _k + (n - k) · d

16 = 10 + (6 - 4) d;        d= 3

a₁= a₄ - 3d;

a₁ = 10 - 9 = 1

1, 4, 7, 10, 13, ...

2.-Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8,    3, -2, -7 ,    -12.

3.- El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.

a ₁ = − 1;          a ₁₅ = 27;      

a _n = a ₁ + (n - 1) · d

27= -1 + (15-1) d;       28 = 14d;         d = 2

S= (-1 + 27) 15/2 = 195

4.- Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.

La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.

360= ( a₁ + a₄) · 4/2

a₄= a₁ + 3 · 25

360= ( a₁ + a₁ + 3 · 25) · 4/2

a₁ = 105/2 = 52º 30'      a₂ = 77º 30'

a₃ = 102º 30'                a₄ = 127º 30'

5.- El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.

a₂ = 8 + d;            a₃ = 8 + 2d

(8 + 2d)² = (8 + d)² + 64

d = 8

8, 16, 24.

6.- Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.

Término central x

1º x - d

3º x + d.

x − d + x + x + d = 27

x = 9

(9 − d)² + 81 + (9 + d)² = 511 / 2

d = ± 5 / 2

13 / 2, 9, 23/2

23 / 2, 9, 13/2

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.

Rarón de una progresión geométrica

Término general de una progresión geométrica

a_n = a₁ · r^n-1

a_n = a_k · r^n-k

Interpolación de términos

Suma de n términos consecutivos

Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente

Producto de dos términos equidistantes

a_i . a_j = a₁ . a_n

a₃ · a_n-2 = a₂ · a_n-1 = ... = a₁ · a_n

Producto de n términos equidistantes

 

EJRCICIOS DE APLICACIÓN

1.- El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.

a₂= 6;                 a₅= 48;        

 a_n = a_k · r ^n-k

48 = 6 r^5-2 ;          r³ = 8;                r = 2.

a₁= a₂ / r; a₁= 6/2= 3

3, 6, 12, 24, 48, ...

2.- El 1^er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.

a ₁ = 3;                 a ₈ = 384;   

                            

384 = 3 · r^8-1 ;       r⁷ = 128;        r⁷ = 2⁷;      r= 2.

S₈ = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765

3.- Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.

a = 3;        b = 48;        

  

3,     6, 12, 24,    48

4.- Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.

a₁= 1       r= 2;         n = 20;        

S= (1 · 2^20-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .

5.- Uniendo los puntos medios de los lados de un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la suma de las áreas de los infintos cuadrados.

ECUACIONES EXPONENCIALES

DEFINICIÓN

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Como por ejemplo:

 

Propiedades de las ecuaciones exponenciales:

1)   La función exponencial es siempre positiva:

          

2)   Si dos potencias de la misma base son iguales, los exponentes son iguales:

          

3)   Si   x   e   y   son números reales y   a   y   b   son números reales positivos, entonces se verifican las siguientes igualdades:

         

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1)   2^x = 8

Ecuación:   2^x = 8

Factorizando:   2^x = 2³

Igualando:   x = 3

2)   2^x = 64

Ecuación:   2^x = 64

Factorizando:   2^x = 2⁶

Igualando:   x = 6

3)   3^x = 9

Ecuación:   3^x = 9

Factorizando:   3^x = 3²

Igualando:   x = 2

4)   3^x+1 = 81

Ecuación:   3^x+1 = 81

Factorizando:   3^x+1 = 3⁴

Igualando:   x + 1 = 4

Resolviendo:  x = 3

5)   5^x = 3125

Ecuación:   5^x = 3125

Factorizando:   5^x = 5⁵

Igualando:   x = 5

6)   2^x = 22

Ecuación:   log(2^x) = log(22)

Despejando:   x·log(2) = log(22)

Resolviendo:   x = log(22) / log(2)

x = 4,46

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

EN RESUMEN

Podemos agrupar la resolución de ecuaciones exponenciales en tres casos:

A)   Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base

1)   5^x = 25

      El segundo miembro se puede expresar en la misma base que el primer miembro.
      5^x = 5²
      x = 2

2)   3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} = 117

      Sacamos factor común:   3^x (3^{- 1} + 1 + 3) = 117
      Simplificamos:   $3^{\text{x}}\cdot \frac{13}{3}\text{ = 117 }\Rightarrow 3^{\text{x}}\text{ = }27$
      Resolvemos:   3^x = 27 = 3³    ⇒    x = 3

B)   Se reduce a una ecuación de segundo grado

1)   5^2x - 30 · 5^x + 125 = 0

      Operamos:   (5^x)² - 30 · 5^x + 125 = 0

      Hacemos la sustitución  y = 5^x :       y² - 30 · y + 125 = 0

      Resolvemos la ecuación de segundo grado:    $\text{y = }\frac{-\left(-30\right)\text{ ± }\sqrt{{\left(-30\right)}^{\text{2}}-\text{ 4}\cdot \text{1}\cdot 125}}{\text{2}\cdot \text{1}}\text{ = }\{\begin{array}{l}\text{y = 25}\\ \\ \text{y = 5}\end{array}$

     Se deshace el cambio:   y = 5^x = 5              ⇒     x = 1

                                        y = 5^x = 25 = 5²     ⇒    x = 2

C)  Cuando las ecuaciones exponenciales tienen distinta base, se pueden aplicar logaritmos

1)   3^x = 8

      Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
      x = log₃8

      A continuación cambiamos a base decimal:   ${\text{log}}_a\text{ A = }\frac{\text{log A}}{\text{log a}}$

      ${\text{x = log}}_{\text{3}}\text{ 8 = }\frac{{\text{log}}_{\text{10}}\text{ 8}}{{\text{log}}_{\text{10}}\text{ 3}}\text{ = }\frac{\text{log 8}}{\text{log 3}}\text{ = }\frac{\text{0}\text{,903}}{\text{0}\text{.477}}\text{ = 1}\text{,892}$

2)   7^{x - 1} - 2^{x + 5} = 0

      Despejamos uno de los sumandos:   7^{x - 1} = 2^{x + 5}

      Aplicamos logaritmo a ambos miembros:   log (7^{x - 1}) = log (2^{x + 5})

      Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:   (x - 1)log 7 = (x + 5)log 2

      Operamos y despejamos la incógnita x:

                      x log 7 - log 7 = x log 2 + 5 log 2
                      x log 7 - x log 2 = 5 log 2 + log 7
                      x (log 7 - log 2) = 5 log 2 + log 7
                     $\text{x = }\frac{\text{5 log 2 + log 7}}{\text{log 7 }-\text{ log 2}}$

RECOMENDACIÓN PARA EL USO DE LA CALCULADORA EN TRIGONOMETRÍA

QUERIDOS ESTUDIANTES:

 ESPERO LES SEA DE MUCHA UTILIDAD ESTOS VIDEOS, DONDE SE MUESTRA EL USO CORRECTO DE LA CALCULADORA EN MATEMÁTICA Y TRIGONOMETRÍA.

 

AREAS SOMBREADAS

CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES SOMBREADAS

INTRODUCCIÓN

El cálculo de áreas de figuras geométricas se hace útil cuando debemos determinar el área de una región no convencional; es decir, regiones cuya forma no es geométricamente tradicional como los cuadrilateros, triángulos, círculos y polígonos en general. A veces debemos determinar el área para calcular otras variables como la cantidad y el costo de los materiales con los cuales se construye algo como un edificio (pisos, paredes, ventanas, etc.), o contenedores (cartón , acrílico, madera, entre otros). En esta unidad se presentan algunas regiones no convencionales para el cálculo de su área. Igualmente se suministran las ayudas necesarias en caso de no conocerse el procedimiento adecuado para dicho cálculo. Algunas áreas a calcular se muestran a continuación:   Además de las fórmulas para calcular áreas de las figuras geométricas planas más comunes, debes tener en cuenta las siguientes áreas circulares.

	CUADRANTE
	SECTOR CIRCULAR
	SEGMENTO CIRCULAR
	EMBECADURA

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

1) En la figura se tiene un cuadrado de lado l = 4 cm. En las esquinas se tiene 4 cuadrados de lado l/3. Calcular el área de la región sombreada

Solución:
a) Cálculo del área del cuadrado de l = 4 cm :

A= l2 = (4cm)2 = 16 cm2

b) Cálculo del área del cuadrado de lado l/3:
A? =
c) Cálculo del área de la región sombreada
Área Sombreada= A- 4A? =
Área Sombreada=


2) Calcular el área de la región sombreada

Solución:
a) Cálculo del área del círculo

b) Cálculo del área del cuadrado

Si el radio de la circunferencia es 4cm, entonces el lado del cuadrado es 8 cm, es decir, Si = 4 cm ? l= 8cm

Entonces el área del cuadrado es:

A= l2 = (8cm)2 = 64 cm2

c) Cálculo del área de la región sombreada

Se obtiene al restar el área del círculo de la del cuadrado

3) Calcular el área de la región sombreada (sector circular) en donde cm y el ? tiene un tercio de 3600

Solución:
a) Cálculo del radio r:
Si ?
b) Cálculo del ángulo ??

c) Cálculo del área del sector circular:



4) Calcular el área de la región sombreada (corona circular) en donde cm .

Solución:
a) Cálculo del radio subdos:
Si cm ?
b) Cálculo del radio subuno:?
Si
c) Cálculo del área del círculo de radio subdos:

d) Cálculo del área del círculo de radio subuno:

e) Cálculo del área de la corona circular

5) Calcular el área de la región sombreada (trapecio circular) en donde cm .

Solución:

a) Cálculo del radio subuno:

Si cm ? cm = cm = cm
? cm
b) Cálculo del radio subuno:
Si ??
c) Cálculo del sector circular de radio subuno:

d) Cálculo del sector circular de radio subdos:

e) Cálculo del área del trapecio circular:

6) De una pizza se ha comido como indica la figura:

La pizza cabe exactamente en una caja cuadrada que tiene 160 cm de perímetro. Calcular el área y la longitud del arco de la parte comida.
Solución.- Primera forma:
a) Cálculo del lado de la caja cuadrada
Si el perímetro es ? ??
b) Cálculo del radio de la pizza
Si
Si
c) Cálculo del área total de la pizza

d) Cálculo del área de la parte comida
Como la parte comida es de la pizza,
Entonces:

e) Cálculo del perímetro de la pizza

f) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida

Solución.- Segunda forma:
a) Cálculo del lado de la caja cuadrada
Si el perímetro es ? ???
b) Cálculo del radio de la pizza
Si
Si
c) Cálculo del ángulo ?

d) Cálculo del área de la parte comida

e) Cálculo de la longitud del arco de la parte comida

 7) Calcular el área de la región sombreada en donde d = cm y b = cm.

Solución:
a) Cálculo de la diagonal:
Si d = cm ?
b) Cálculo de la base:
Si b = cm??
c) Cálculo de la altura aplicando el Teorema de Pitágoras:


d) Cálculo del área de la región pintada, la misma que es un triángulo:
A=


9) Si d = cm. Calcular el área de la región sombreada

Solución:
a) Cálculo de la diagonal
Si d = cm ?
b) Cálculo del lado del cuadrado
Por Pitágoras

c) Cálculo del área del cuadrado

d) Cálculo del área del triángulo sin sombrear

e) Cálculo del área sombreada

1. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 22 cm2 B) 24 cm2 C) 21 cm2 D) 23 m2 2. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 36 cm2 B) 37 cm2 C) 38 cm2 D) 35 cm2 3. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 71 cm2 B) 72 cm2 C) 74 cm2 D) 73 cm2 4. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 23 cm2 B) 22 cm2 C) 24 cm2 D) 21 cm2 5. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 32 cm2 B) 35 cm2 C) 34 cm2 D) 33 cm2 6. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 15 cm2 B) 17 cm2 C) 16 m2 D) 18 m2 7. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 72 phi cm2 B) 73 phi cm2 C) 71 phi cm2 D) 74 phi cm2 8. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 54 cm2 B) 53 cm2 C) 56 cm2 D) 55 cm2 9. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 18 cm2 B) 14 cm2 C) 16 cm2 D) 12 cm2 10. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 33 phi cm2 B) 32 phi cm2 C) 35 phi cm2 D) 34 phi cm2 11. Hallar el área sombreada de la siguiente figura A) 21 cm2 B) 23 cm2 C) 24 cm2 D) 22 cm2 12. Hallar el área sombreada de la siguiente figura. A) 106 cm2 B) 100 cm2 C) 102 cm2 D) 104 cm2 RESPUESTAS A LO EJERCICIOS 1.B    2.A    3.B    4.C    5.C    6.C     7.A     8.C    9.A     10.B    11.C      12.B