| Esto es una ecuación cuadrática: |
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| (a, b, y c pueden tener cualquier valor, excepto que a no puede ser 0.) |
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La letra "x" es la variable o incógnita, y las letras a, b y c son los coeficientes (lee lasDefiniciones básicas de Álgebra)
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Y el nombre cuadrática viene de "cuad" que quiere decir cuadrado, porque el exponente más grande es un cuadrado (en otras palabras x2).
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Ejemplos de ecuaciones cuadráticas:
 | En esta a=2, b=5 y c=3 | |
 | Aquí hay una un poco más complicada:
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 | ¡Ups! Esta no es una ecuación cuadrática, porque le falta el x2 (es decir a=0, y por eso no puede ser cuadrática) |
¿Qué tienen de especial?
Las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver usando una fórmula especial llamada fórmula cuadrática:
 | El "±" quiere decir que tienes que hacer más Y menos, ¡así que normalmente hay dos soluciones! |
Ecuaciones de 2º grado completas
Las ecuaciones de segundo grado deben tener una x elevada al cuadrado.
Ecuaciones de 2º grado incompletas
Ecuaciones cuadráticas disfrazadas
Algunas ecuaciones no parece que sean cuadráticas, pero con manipulaciones astutas se pueden transformar en una:
| Disfrazadas | Qué hacer | En forma estándar | a, b y c |
|---|---|---|---|
| x2 = 3x -1 | Mueve todos los términos a la izquierda | x2 - 3x + 1 = 0 | a=1, b=-3, c=1 |
| 2(x2 - 2x) = 5 | Desarrolla paréntesis | 2x2 - 4x - 5 = 0 | a=2, b=-4, c=-5 |
| x(x-1) = 3 | Desarrolla paréntesis | x2 - x - 3 = 0 | a=1, b=-1, c=-3 |
| 5 + 1/x - 1/x2 = 0 | Multiplica por x2 | 5x2 + x - 1 = 0 | a=5, b=1, c=-1 |
PROBLEMA 1
Halle el área y perímetro del
triángulo rectángulo mostrado. Las dimensiones están en metros.
Como
es un triángulo rectángulo se cumple el Teorema de Pitágoras: "El
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los
catetos" (c2 = a2 + b2). La hipotenusa es
el lado mayor (2x − 5) y los otros dos son los catetos, se plantea entonces la
ecuación:
(x + 3)2 + (x − 4)2 = (2x − 5)2
Desarrollando
cada binomio al cuadrado, se tiene:
x2 + 2 • 3 • x + 32 + x2
− 2 • 4 • x + 42 = (2x)2 − 2 • (2x) • 5 + 52
x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 = 4x2 − 20x + 25
Reagrupando:
x2 + 6x + 9 + x2 − 8x + 16 − 4x2
+ 20x − 25 = 0
Finalmente:
−2x2 + 18x = 0
Es
la ecuación cuadrática a resolver
Las
raíces de la ecuación son x1 = 0 y x2 = 9.
PROBLEMA
2
Un jardín rectangular de 50 m de largo por 34 m de
ancho está rodeado por un camino lleno de basuras de papel, nylon y otros.
Halla la anchura de dicho camino si se sabe que su área es 540 m².
(50 + 2x) · (34 + 2x) − 50 · 34 = 540
4x2 + 168x − 540 = 0
x2 + 42x − 135 = 0
x = 3 y x = −45
La anchura del camino es 3 m.
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