TEMA N° 8 : RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS

Nivel           : 5to de secundaria

Objetivos del tema

El estudiante será capaz de:         

-       Conocer los conceptos y propiedades fundamentales de los triángulos oblicuángulos.
-       Resolver un triángulo oblicuángulo usando ley de Senos y Cosenos. 
-   Aplicar a problemas físicos y topográficos en la resolución de triángulos oblicuángulos.

DEFINICIÓN

Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulo  recto en ninguno de sus ángulos, por lo que no se puede resolver directamente por el teorema de Pitágoras, el triángulo oblicuángulo se resuelve por leyes de senos y de cosenos, así como el que la suma de todos los ángulos internos de un triángulo suman 180 grados.

Un triángulo que no es rectángulo se le llama oblicuángulo(*). Los elementos de un triángulo oblicuángulo son los tres ángulos A, B y C y los tres lados respectivos, opuestos  a los anteriores, a, b y c.

Un problema de resolución de triángulos oblicuángulos consiste en hallar tres de sus elementos, lados o ángulos, cuando se conocen los otros tres (uno de los cuales ha de ser un lado).

Se utilizan tres propiedades: 

Suma de los ángulos de un triángulo	A + B + C = 180º
Teorema del seno
Teorema del coseno	a2 = b2 + c2 - 2·b·c·Cos A b2 = a2 + c2 - 2·a·c·Cos B c2 = a2 + b2 - 2·a·b·Cos C

Casos en la resolución de triángulos:

CASO	DATOS CONOCIDOS	INCÓGNITAS
I	Los tres lados: a, b, c	Los tres ángulos A, B, C
II	Un lado y los ángulos adyacentes: a, B, C	Dos lados y un ángulo: b, c, A
III	Dos lados y el ángulo formado: a, b, C	Un lado y dos ángulos: c, A, B
IV	Dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos: a, b, A	Un lado y dos ángulos: c, B, C

El I y II se resuelven con Ley de Senos

I Ángulo Ángulo Lado (Á Á L)

II Lado Lado Ángulo ( Á L L)

Los III y IV se resuelven con Ley de Cosenos

III Lado Ángulo Lado (L Á L)

IV Lado Lado Lado (L L L)

EJERCICIOS DE APLICACIÓN 

Ejercicio 1

Los tres datos conocidos de un triángulo los tienes en la figura siguiente. Halla los tres datos que faltan por conocer:

Respuesta: C = 30º; a = 5,8 m; a = 10,28 m.

Solución

El ángulo C = 180º – (121º+29º) =  30º

Haces uso del teorema del seno.

Calculamos el valor de b:

Calculamos el valor de a:

Ejercicio 2  

En el dibujo siguiente tenemos un triángulo con tres datos conocidos, halla los otros tres:

Respuesta: A = 68º; C = 52º; c= 6,68 m.; 

Solución

Haciendo uso del teorema del seno podemos escribir:

Tomas las tablas y en la columna del seno cuyo encabezamiento lo tenemos al pie de página, en la columna de grados de la derecha verás que corresponde a 68º.

Esto quiere decir que también conocemos el ángulo C:

Del triángulo conocemos:

Comprobarás que necesitamos saber el valor del lado c, para completar las medidas de los seis datos.

Volvemos a utilizar el teorema del seno:

Resultado final con todos los datos:

Ejercicio 3  

En el siguiente triángulo aparecen 3 datos, calcula los otros 3:

Respuesta: B = 110º; b = 8,9 m.; c = 5 m.

Ejercicio 4

Conocemos los tres lados de un triángulo:

¿Cuánto vale el ángulo A?

 Respuesta: 23º

 Solución

Ejercicio 5

¿Cuánto valen los ángulos A y B de la siguiente figura?

Respuestas: A = 39º; B = 52º