Muchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a través de una relación de igualdad, llamada ecuación. Las ecuaciones tienen aplicación en todas las ramas de la Matemática y de las ciencias en general, por lo que su estudio es de suma importancia.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, que solo se verifica para ciertos valores determinados.
En el caso de
la igualdad se cumple si y sólo si x vale 2, por lo tanto es una ecuación.
En la caso de
la igualdad se cumple para cualquier valor de x, por lo tanto no es una ecuación. En este caso de trata de una identidad. La identidad también es una igualdad entre dos expresiones algebraicas al igual que una ecuación, pero que se verifica para cualquier valor.
Las igualdades de los productos y cocientes notables, estudiadas en el capítulo anterior, son identidades.
Términos de una Ecuación
Son cada una de las cantidades que están conectadas por los signos + ó –
El primer miembro corresponde a toda la expresión que está antes del signo =.
El segundo miembro corresponde a toda la expresión que está después del signo =.
Los términos 5 y 7 que no están acompañados de letras se llaman términos independientes.
La letra o letras presentes en la ecuación se llaman incógnitas o valores desconocidos.
Grado de una Ecuación
El grado de una ecuación está dado por el mayor exponente de la incógnita.
La ecuación
Es una ecuación de segundo grado o cuadrática, ya que el mayor exponente de x es 2.
Solución de una Ecuación
Es averiguar el valor o los valores de la incógnita. Este valor se llama raíz.
- Quitar paréntesis.
- Quitar denominadores.
- Para encontrar la solución o raíz de una ecuación se despeja la incógnita mediante la transposición de términos con operación contraria (Si está sumando pasa al otro miembro de la ecuación a restar o viceversa, si está multiplicando pasa al otro miembro a dividir o viceversa.)
- Agrupar los términos en x en un miembro y los términos independientes en el otro.
- Reducir los términos semejantes.
- Despejar la incógnita.
El principio de la transposición de términos se fundamenta en las siguientes propiedades de las igualdades:
- Si a los dos miembros de una ecuación se suma o resta una misma cantidad, la igualdad subsiste.
- Si a los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen una misma cantidad, la igualdad subsiste.
-Si a los dos miembros de una ecuación se elevan a una misma potencia o se extrae una misma raíz, la igualdad subsiste.
Las ecuaciones de primer grado son del tipo:
ax + b = 0 donde a ≠ 0
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
EJEMPLO 1
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Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario). |
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Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente. |
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Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos. |
EJEMPLO 2
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(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x) |
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(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x) |
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(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”) |
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(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo) |
EJEMPLO 3
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(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1) |
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(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1) |
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(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar 4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando. |
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EJEMPLO 4
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EJEMPLO 5
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EJEMPLO 6
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(léase, menos un tercio). La fracción es negativa pues se divide un positivo, el 1, con un negativo, el – 3. |
Resolución de ecuaciones con agrupaciones de signos
Para resolver este tipo de ecuaciones primero debemos suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones.Veamos el siguiente ejemplo:
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Primero quitamos los paréntesis. |
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Reducimos términos semejantes. |
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Ahora quitamos los corchetes. |
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Transponemos los términos, empleando el criterio de operaciones inversas. |
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Nuevamente reducimos términos semejantes |
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Despejamos x pasando a dividir a – 2, luego simplificamos. |
Advertencia
Para suprimir los signos de agrupación debemos tener en cuenta que:a) Si tenemos un signo + antes de un signo de agrupación no afecta en nada a lo que esté dentro de este signo. Por ejemplo: +(3x – 5) = 3x – 5
b) Si por el contrario, tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5
Resolución de ecuaciones con productos incluidos
Para resolver este tipo de ecuaciones, primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).Observemos un ejemplo:
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Resolvemos el producto indicado, y adicionalmente eliminamos los paréntesis. |
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Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad, y los términos independientes al otro lado (empleamos operaciones inversas.) |
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Reducimos términos semejantes en ambos lados de la igualdad. |
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Despejamos x pasando 3 a dividir. |
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Resolución de ecuaciones de primer grado con productos indicados
Resolución de problemas mediante ecuaciones
Para resolver un problema, debemos plantearlo en forma matemática y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).Veamos un problema característico:
EJEMPLO 1
Pedro es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que María. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?
Digamos que las edades de los tres son:
x edad de Pedro
y edad de Álvaro
z edad de María
Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Pedro más 3 años (Pedro es tres años menor que Álvaro):
y = x + 3
También sabemos que la edad de María es igual a la edad de Pedro menos 7 años (Pedro es 7 años mayor que María):
z = x – 7
Ahora tenemos que:
edad de Pedro: x
edad de Álvaro: x +3
edad de María: x – 7
La suma de las tres edades es 38:
x + x +3 + x – 7 = 38
Resolviendo está última ecuación tendremos:
x = 14 (esta es la edad de Pedro)
Finalmente:
edad de Pedro: x = 14 años
edad de Álvaro: x + 3 = 17 años
edad de María: x – 7 = 7 años
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