ECUACIONES EXPONENCIALES

DEFINICIÓN

Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente. Como por ejemplo:

 

Propiedades de las ecuaciones exponenciales:

1)   La función exponencial es siempre positiva:

          

2)   Si dos potencias de la misma base son iguales, los exponentes son iguales:

          

3)   Si   x   e   y   son números reales y   a   y   b   son números reales positivos, entonces se verifican las siguientes igualdades:

         

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

1)   2^x = 8

Ecuación:   2^x = 8

Factorizando:   2^x = 2³

Igualando:   x = 3

2)   2^x = 64

Ecuación:   2^x = 64

Factorizando:   2^x = 2⁶

Igualando:   x = 6

3)   3^x = 9

Ecuación:   3^x = 9

Factorizando:   3^x = 3²

Igualando:   x = 2

4)   3^x+1 = 81

Ecuación:   3^x+1 = 81

Factorizando:   3^x+1 = 3⁴

Igualando:   x + 1 = 4

Resolviendo:  x = 3

5)   5^x = 3125

Ecuación:   5^x = 3125

Factorizando:   5^x = 5⁵

Igualando:   x = 5

6)   2^x = 22

Ecuación:   log(2^x) = log(22)

Despejando:   x·log(2) = log(22)

Resolviendo:   x = log(22) / log(2)

x = 4,46

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver las siguientes ecuaciones exponenciales:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

Resolver la siguiente ecuación exponencial:

EN RESUMEN

Podemos agrupar la resolución de ecuaciones exponenciales en tres casos:

A)   Ambos miembros se pueden poner como potencia de la misma base

1)   5^x = 25

      El segundo miembro se puede expresar en la misma base que el primer miembro.
      5^x = 5²
      x = 2

2)   3^{x - 1} + 3^x + 3^{x + 1} = 117

      Sacamos factor común:   3^x (3^{- 1} + 1 + 3) = 117
      Simplificamos:   $3^{\text{x}}\cdot \frac{13}{3}\text{ = 117 }\Rightarrow 3^{\text{x}}\text{ = }27$
      Resolvemos:   3^x = 27 = 3³    ⇒    x = 3

B)   Se reduce a una ecuación de segundo grado

1)   5^2x - 30 · 5^x + 125 = 0

      Operamos:   (5^x)² - 30 · 5^x + 125 = 0

      Hacemos la sustitución  y = 5^x :       y² - 30 · y + 125 = 0

      Resolvemos la ecuación de segundo grado:    $\text{y = }\frac{-\left(-30\right)\text{ ± }\sqrt{{\left(-30\right)}^{\text{2}}-\text{ 4}\cdot \text{1}\cdot 125}}{\text{2}\cdot \text{1}}\text{ = }\{\begin{array}{l}\text{y = 25}\\ \\ \text{y = 5}\end{array}$

     Se deshace el cambio:   y = 5^x = 5              ⇒     x = 1

                                        y = 5^x = 25 = 5²     ⇒    x = 2

C)  Cuando las ecuaciones exponenciales tienen distinta base, se pueden aplicar logaritmos

1)   3^x = 8

      Aplicando la definición de logaritmo tenemos que:
      x = log₃8

      A continuación cambiamos a base decimal:   ${\text{log}}_a\text{ A = }\frac{\text{log A}}{\text{log a}}$

      ${\text{x = log}}_{\text{3}}\text{ 8 = }\frac{{\text{log}}_{\text{10}}\text{ 8}}{{\text{log}}_{\text{10}}\text{ 3}}\text{ = }\frac{\text{log 8}}{\text{log 3}}\text{ = }\frac{\text{0}\text{,903}}{\text{0}\text{.477}}\text{ = 1}\text{,892}$

2)   7^{x - 1} - 2^{x + 5} = 0

      Despejamos uno de los sumandos:   7^{x - 1} = 2^{x + 5}

      Aplicamos logaritmo a ambos miembros:   log (7^{x - 1}) = log (2^{x + 5})

      Aplicamos la propiedad del logaritmo de una potencia:   (x - 1)log 7 = (x + 5)log 2

      Operamos y despejamos la incógnita x:

                      x log 7 - log 7 = x log 2 + 5 log 2
                      x log 7 - x log 2 = 5 log 2 + log 7
                      x (log 7 - log 2) = 5 log 2 + log 7
                     $\text{x = }\frac{\text{5 log 2 + log 7}}{\text{log 7 }-\text{ log 2}}$