PROBLEMAS DE ECUACIONES DE 1er GRADO CON UNA INCOGNITA

Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver problemas de la vida cotidiana. 

Procedimiento para resolver problemas de ecuaciones:
 
• Definición de la incógnita
• Traducir al lenguaje algebraico el enunciado.
• Planteamiento de la ecuación.
• Resolución de la ecuación.
• Ver si el resultado de la ecuación es coherente con el enunciado. 

A continuación, entregamos una tabla de equivalencias entre una expresión coloquial y su simbología, la cual puede resultar muy útil si es consultada a menudo:

Lenguaje comun	Simbología matemática
Dado un número
El duplo, el doble de un número
La mitad de un número
Un número disminuido en...
El antecesor, o el anterior de un número
El sucesor, el consecuente, o el siguiente de un número
El opuesto de un número
Números consecutivos
Un número par
Números pares consecutivos
Un número impar
Números impares consecutivos
El triple de un número
El cuádruplo de un número
La tercera parte, o el tercio de un número
La cuarta parte de un número
La quinta parte de un número
El cuadrado de un número
El cubo de un número
El cuadrado del siguiente de un número
El cubo del siguiente de un número
La raíz cuadrada de un número
La raíz cúbica de un número
La raíz cuarta de un número
La razón entre dos números: división
El producto entre dos números: multiplicación
La diferencia entre dos números: sustracción

A MODO DE EJEMPLOS:

1. Un padre tiene 35 años y su hijo 5. ¿Al cabo de cuántos años será la edad del padre tres veces mayor que la edad del hijo?

Años x

35 + x = 3 · (5 + x )

35 + x = 15 + 3 · x

20 = 2 · x             x = 10

Al cabo de 10 años.

2. Si al doble de un número se le resta su mitad resulta 54. ¿Cuál es el número?

3. La base de un rectángulo es doble que su altura. ¿Cuáles son sus dimensiones si el perímetro mide 30 cm?

Altura x

Base 2x

2 · x + 2 · 2x = 30        2x + 4x = 30      6x = 30      x = 5

Altura 5 cm

Base 10 cm

4. En una reunión hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. ¿Cuántos hombres, mujeres y niños hay si la reunión la componen 96 personas? 

Hombres x

Mujeres 2x

Niños 3 ·(x + 2x) = 3 · 3x = 9x

x + 2x + 9x = 96

12x = 96           x = 8

Hombres 8

Mujeres 2 · 8 = 16

Niños 9 · 8 = 72

5. Una granja tiene cerdos y pavos, en total hay 35 cabezas y 116 patas. ¿Cuántos cerdos y pavos hay?

Cerdos x

Pavos 35 − x

4x + 2 · (35 − x) = 116

4x + 70 − 2x = 116

2x = 46          x = 23

Cerdos 23

Pavos 35 − 23 = 12

6. En una librería, Ana compra un libro con la tercera parte de su dinero y una revita con las dos terceras partes de lo que le quedaba. Al salir de la librería tenía Bs. 12 . ¿Cuánto dinero tenía Ana?

Total x

Libro

Revista

x = Bs. 54

7. La suma de tres números naturales consecutivos (lenguaje coloquial) es 45. ¿Cuáles son dichos números?

Procedimiento:

Buscamos en la tabla cómo simbolizar números consecutivos, y nuestro problema indica tres:

 (simbología matemática)

2.- Como la operación es la suma de tres números, no necesitamos usar paréntesis

3.- Planteamos la ecuación:

 Resolvemos la ecuación: sumamos los términos semejantes entre sí:

Ahora conocemos el primer número, y para hallar los dos siguientes hacemos:

6.- Verificamos y hacemos

7.- El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40 años ¿qué edad tiene cada hermano ? 

Para resolver estos problemas debemos elegir algún valor desconocido para llamarle "x". En este caso llamemos : 

x = edad del hermano menor.
A partir de ello expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con ellos: Será: 

x + 3 : edad del hermano mediano
x+3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor 

Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40 ; x + x+3 + x+7 = 40, 

Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10, luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10 , 13 y 17 años.


PROBLEMAS PROPUESTOS

1. Halla un número tal que su triplo menos 5 sea igual a su doble más 3. 2. ¿Cual es el número cuya tercera parte más 12 da 26? 3. La suma de las macetas de dos casas vecinas es 365. Una tiene 43 más que la otra. ¿Cuantas macetas tiene la casa que más tiene? 4. Tres números enteros consecutivos suman 69. Calcula la mitad del mayor. 5. Curro leyó en un día la cuarta parte de las páginas de un libro, y al día siguiente, una tercera parte. Si aun le quedan 75 páginas por leer, ¿cuántas páginas tiene el libro? 6. La suma de un número entero y el doble del siguiente vale 74. ¿De qué número se trata? 7. La suma de un número y el siguiewnte de su doble es 67. Calcula dicho número. 8. El triple de un número menos 11 es igual a 43. Averigua de qué número se trata. 9. Curro se gasta la mitad de su dinero en la entrada del cine y una cuarta parte en golosinas. Si le quedan Bs. 3, ¿cuánto dinero tenía? 10. Si al dinero que tengo le sumamos su mitad y su cuarta parte, y le añadimos un euro, tendré entonces Bs. 64 . ¿Cuánto dinero tengo ahora?

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Clave

1. 8   2. 42   3. 204   4. 12   5. 180   6. 24   7. 22   8. 18   9. 12   10. 36  

OTROS PROBLEMAS PROPUESTOS

1)    Un padre tiene 20 años más que su hijo. Dentro de 12 años, el padre tendrá el doble de la edad del hijo. ¿Cuántos años tiene cada uno actualmente?

2)    Las edades de un matrimonio suman 62 años. Si se casaron hace 10 años y la edad de la novia era 3/4 de la edad de la novia. ¿Qué edad tienen actualmente?

3)    La edad de Pedro excede a la de su amigo Santiago en 4 años y a la de su amigo Juan en 2 años. Hace 6 años la razón entre sus edades era 2:3:4. ¿Qué edad tienen actualmente?

     4)    La edad de María es el triple de la de Ester y excede en 5 años a la edad de Isabel. Si las 

          edades de Ester e Isabel suman 23 años. Hallar la edad de cada una.

     5)   Guiso tiene la cuarta parte de la edad de su padre Andrés y el triple de la edad de su 

         hermano David. ¿Qué edad tiene cada uno, si sus edades suman 48 años?

     6)    Hace 6 años un padre tenía el cuádruplo de la edad de su hijo. En 10 años más tendrá sólo 

         el doble. Hallar la edad actual del padre e hijo.

     7)    Un padre tiene 52 años y su hijo 16. ¿Hace cuántos años el hijo tenía la séptima parte de la

         edad del padre?

       RESPUESTAS

1)         8 y 28 años

2)         28 y 34 años

3)         14, 12 y 1 año

4)        Ester: 7 años; Isabel: 16 años; María: 21 años

5)         Andrés: 36 años; Guido: 9 años; David: 3 años

6)        14 y 38 años

7)        Hace 10 años