Toda secuencia ordenada de números reales recibe el nombre de sucesión. Dentro del grupo de sucesiones existen dos particularmente interesantes por el principio de regularidad que permite sistematizar la definición de sus propiedades: las progresiones aritméticas y geométricas.
Progresiones aritméticas
Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un número fijo llamado diferencia que se representa por d.
Diferencia
d = an - an-1
Término general de una progresión aritmética
an = a1 + (n - 1) · d
an = ak + (n - k) · d
Interpolación de términos
Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.
Suma de términos equidistantes
ai + aj = a1 + an
a3 + an-2 = a2 + an-1 = a1 + an
Suma de n términos consecutivos
Ejercicios de aplicación
1.- El cuarto término de una progresión aritmética es 10, y el sexto es 16. Escribir la progesión.
a 4 = 10; a 6 = 16
a n = a k + (n - k) · d
16 = 10 + (6 - 4) d; d= 3
a1= a4 - 3d;
a1 = 10 - 9 = 1
1, 4, 7, 10, 13, ...
2.-Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.
8, 3, -2, -7 , -12.
3.- El primer término de una progresión aritmética es -1, y el décimoquinto es 27. Hallar la diferencia y la suma de los quince primeros términos.
a 1 = − 1; a 15 = 27;
a n = a 1 + (n - 1) · d
27= -1 + (15-1) d; 28 = 14d; d = 2
S= (-1 + 27) 15/2 = 195
4.- Hallar los ángulos de un cuadrilátero convexo, sabiendo que están en progresión aritmética, siendo d= 25º.
La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360º.
360= ( a1 + a4) · 4/2
a4= a1 + 3 · 25
360= ( a1 + a1 + 3 · 25) · 4/2
a1 = 105/2 = 52º 30' a2 = 77º 30'
a3 = 102º 30' a4 = 127º 30'
5.- El cateto menor de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula los otros dos, sabiendo que los lados del triángulo forman una progresión aritmética.
a2 = 8 + d; a3 = 8 + 2d
(8 + 2d)2 = (8 + d)2 + 64
d = 8
8, 16, 24.
6.- Calcula tres números en progresión aritmética, que suman 27 y siendo la suma de sus cuadrados es 311/2.
Término central 
x
x
1º x - d
x - d
3º x + d.
x + d.
x − d + x + x + d = 27
x = 9
(9 − d)2 + 81 + (9 + d)2 = 511 / 2
d = ± 5 / 2
13 / 2, 9, 23/2
23 / 2, 9, 13/2
Progresiones geométricas
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando al anterior una cantidad fija r, llamada razón.
Rarón de una progresión geométrica
Término general de una progresión geométrica
an = a1 · rn-1
an = ak · rn-k
Interpolación de términos
Suma de n términos consecutivos
Suma de los términos de una progresión geométrica decreciente
Producto de dos términos equidistantes
ai . aj = a1 . an
a3 · an-2 = a2 · an-1 = ... = a1 · an
Producto de n términos equidistantes
EJRCICIOS DE APLICACIÓN
1.- El 2º término de una progresión geométrica es 6, y el 5º es 48. Escribir la progesión.
a2= 6; a5= 48;
an = ak · r n-k
48 = 6 r5-2 ; r3 = 8; r = 2.
a1= a2 / r; a1= 6/2= 3
3, 6, 12, 24, 48, ...
2.- El 1er término de una progresión geométrica es 3, y el 8º es 384. Hallar la razón, y la suma y el producto de los 8 primeros términos.
a 1 = 3; a 8 = 384;
384 = 3 · r8-1 ; r7 = 128; r7 = 27; r= 2.
S8 = (384 · 2 - 3 ) / (2 − 1) = 765
3.- Interpolar tres medios geométricos entre 3 y 48.
a = 3; b = 48;
3, 6, 12, 24, 48
4.- Juan ha comprado 20 libros, por el 1º ha
pagado 1€, por el 2º 2 €, por el 3º 4 €, por el 4º 8 € y aí
sucesivamente. Cuánto ha pagado por los libros.
a1= 1 r= 2; n = 20;
S= (1 · 220-1 - 1) / (2 - 1) = 1048575 € .
5.- Uniendo los puntos medios de los lados de
un cuadrado de lado l, se obtiene otro cuadrado, en el que volvemos a
hacer la misma operación, y así se continua indefinidamente. Calcular la
suma de las áreas de los infintos cuadrados.
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