EDUMATER 7 : CÁLCULO: FUNCIONES

DEFINICIÓN

Una función es una relación entre dos conjuntos A y B, donde a cada elemento de A le corresponde un único elemento de B.

El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A se denomina rango, o conjunto imagen y a cada elemento del conjunto B le denominamos imagen de algún elemento del conjunto A.

Notación usual:

f

:A→B

                 $y$  =  $f(x)$ 
        Donde: " $x$ " es la variable independiente.
               " $y$ " es la variable dependiente.

Dominio: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente "

x

Rango: Es el conjunto de todos los valores que puede tomar una función, dependiendo de los valores de "

x

Funciones Iguales: Dos funciones

f(x)

g(x)

son iguales si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

Ambas funciones tienen el mismo dominio.
Para todo valor de " $x$ " que pertenece al dominio de $f(x)$ y $g(x)$ , se cumple que el rango de $f(x)$ es igual al rango de $g(x)$ .

     Ejemplo:
  Si  $f(x)$ =x-2 y  $g(x)$ =(x²-4)/(x+2)

Tenemos que el dominio de

f(x)

son los números reales, mientras que el dominio de la función

g(x)

son los números reales excepto el número -2.

Por lo que no se cumple la primera condición, entonces

f(x)

g(x)

no son iguales.

¿Cómo identificar una función de manera práctica?
Para identificar una función, hay que representarla gráficamente y trazar varias rectas paralelas al eje "y" o de ordenadas. Si cada una de esas rectas trazadas cortan a la curva en un único punto podemos estar seguros que la gráfica representa a una función, porque cumpliría con la definición más arriba mencionada, explícitamente, para cada valor de "

x

" existe un único valor de "

y

Función implícita
Cuando una función está dada por una ecuación en donde no está despejada con respecto a la variable dependiente, se denomina implícita.

     Ejemplo:
               $4x+3y=0$

Las funciones son de gran utilidad para resolver problemas de la vida cotidiana, por citar unos ejemplos, pueden ser útiles en las siguientes áreas: economía, estadística, ingeniería, medicina, química, física, astronomía, geología, biología y en cualquier área donde se relacionen variables.

Las funciones juegan un papel esencial en el desarrollo del cálculo, las funciones son generalmente del tipo:

y=f(x)

En otras palabras, "x" es una variable, "y" es otra variable, y el valor que tome "y" depende del valor que esté tomando "x". Por ejemplo, en la función "2x = y", pues cuando "x" tome el valor de 5, "y" va a tomar el valor de 10 (porque 2*5 es 10).

En donde a

y

se la llama variable dependiente y a

x

se la llama variable independiente, la anterior fórmula nos indica que y esta en función de x o sea x puede ser reemplazado en la función por cualquier número y el resultado de esta operacion se la asigna a y.
Así por ejemplo si nuestra función

y=f(x)

es:

y=3x

Y la cambiamos por

y=f(5)

esto nos dice que reemplazemos x por 5 y tenemos como resultado:

y=3*5

y por tanto:

y=15

Tenemos que:

y=f(2)

entonces

y=3*2

y por tanto:

y=6

y=f(9)

entonces

y=27

y=f(2a)

entonces

y=6a

Y así sucesivamente.

Dominio

El dominio son los valores que puede tomar la variable independiente para que la variable dependiente sea un número real, Por ejemplo:

y=(1/x)

En esta función x puede tomar cualquier valor excepto el cero pues la división por cero no esta definida para los números reales.

Codominio

La imagen son los posibles valores de la variable dependiente y cuando la variable independiente un determinado valor.
. El codominio es también llamado rango o imagen.