SISTEMA DE TRES ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON TRES INCOGNITAS

Método de Reducción

Para resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se procede asi:

• Se combinan dos de las ecuaciones dadas y se elimina una de las incógnitas (por suma o resta)
• Se combina la tercera ecuación con cualquiera de las otras dos ecuaciones dadas y se elimina entre ellas mismas incógnitas  que se eliminó antes, obteniéndose otra ecuación con dos incógnitas.
• Se resuelve el sistema formado por las dos ecuaciones con dos incógnitas que se han obtenidos, hallando de este modo dos de las incógnitas.
• Los valores de las incógnitas obtenidos se sustituyen en una de las ecuaciones dadas de tres incógnitas, con la cual se halla la tercera incógnita.

EJEMPLO:

1.) Resolver el sistema   

                     x + 4y - z = 6                         (1)

                   2x + 5y - 7z = -9                     (2)

                     3x - 2y + z = 2                       (3)           

 

SOLUCIÒN:

Combinamos la ecuación (1) y (2), donde vamos a eliminar la x, multiplicando la ecuación (1) por - 2

   -2  (x + 4y - z = 6)              -2x - 8y + 2z = -12          

                                                      2x + 5y - 7z = -9 

             Restando o sumando:          /  - 3y - 5z = -21          (4)

Combinamos la ecuación (3) y (1), donde eliminamos x, multiplicando la ecuación (1) por - 3

  -3  (x + 4y - z = 6)              -3x - 12y + 3z = -18          

                                                    3x - 2y + z  = 2        

             Restando o sumando:          /  - 14y + 4z = - 16          (5)

Ahora tomamos las dos ecuaciones con dos incógnitas que hemos obtenidos (4) y (5) y formamos un sistema.

 - 3y - 5z = -21         

- 14y + 4z = - 16         

Resolvamos este sistema. Vamos a eliminar la z, multiplicando la ecuación (4) por 4 y la ecuación (5) por 

               4   (- 3y - 5z = -21)                     -12y - 20z = - 84  

               5   (- 14y + 4z = - 16)                  - 70y + 20z = - 80    

                                                                  - 82 y  /   = - 164

                                                                              y = -164/ -82

                                                                              y = 2

                                                                                                                                                                                                      

Ahora sustituimos y = 2   en la ecuación (5) se tiene:

                                                 - 14y + 4z = - 16   

                                                 - 14(2) + 4z = - 16  

                                                 - 28 + 4z = - 16

                                                           4z = - 16 + 28

                                                           4z = 12

                                                             z = 12/4

                                                             z = 3

                                                                                                                                                                                                                                                                                                        

Sustituyendo  y = 2 , z = 3   , en cualquiera de las 3 ecuaciones dadas, por ejemplo en la ecuación (1)

                                  x + 4y - z = 6

                                  x + 4(2) - 3 = 6

                                  x + 8 = 6 + 3

                                  x = 9 - 8

                                  x = 1

SOLUCIÒN:

              x = 1

              y = 2

              z = 3

Método de Gauss

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Resolver sistemas lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas utilizando el método de Gauss.

Sistemas de ecuaciones incompletos